专题十三 几何探究题 1．(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°， AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想 图①中，线段PM与PN的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN, BD, CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD ＝4, AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． 2．(2017·天门)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME. (1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是_____； (2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，当∠ADC＝α时，求的值． 3.(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC.(不需要证明) 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明； 【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_____；(只添加一个条件) (2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积． 4．(2017·山西)背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角．如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3，4，5)型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是(3，4，5)型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图①，在矩形纸片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm. 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处．折痕为AF，再沿EF折叠．然后把纸片展平． 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合．折痕为GH，然后展平，隐去AF. 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H.再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平． 问题解决 (1)请在图②中证明四边形AEFD是正方形： (2)请在图④中判断NF与ND′的数量关系．并加以证明； (3)请在图④中证明△AEN是(3，4，5)型三角形； 探索发现 (4)在不添加字母的情况下，图④中还有哪些三角形是(3，4，5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 专题十三 几何探究题 1．解：(1)PM＝PN，PM⊥PN； (2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC， ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； (3)如解图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大，在△AMN中，MN
