专题七 选考内容 第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程 [考情分析] 1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用． 2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用． 考点一 极坐标方程及其应用 [典例感悟] [典例] (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． [解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线． 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2， 所以＝2， 故k＝－或k＝0. 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点； 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2， 所以＝2，故k＝0或k＝. 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点． 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2. [方法技巧] 1．求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键． 2．解决极坐标交点问题的一般思路 (1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标； (2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标． [演练冲关] (2018·太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos＝1， ∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1. 又∴x＋y＝1， 即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0， 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝. ∴M(2,0)，N. ∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为. (2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为， ∴P的极角为θ＝， ∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)． 考点二 参数方程及其应用 [典例感悟] [典例] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)． (1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． [解] (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1. 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内， 所以①有两个解， 设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0， 于是直线l的斜率k＝tan α＝－2. [方法技巧] 参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用 (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件． (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功 ... ...
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