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课件网) 章末复习 第二章 推理与证明 学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理. 2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题. 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1.合情推理 (1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理：由 到 的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 部分 个别 一般 特殊 特殊 整体 2.演绎推理 (1)演绎推理：由 到 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ① ———已知的一般原理. ② ———所研究的特殊情况. ③ ———根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 一般 特殊 大前提 小前提 结论 3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 和 . ① 是从已知条件推出结论的证明方法. ② 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法. 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ( ) 2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) 3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ) 4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( ) [思考辨析 判断正误] × √ × × 题型探究 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为_____. 类型一 合情推理的应用 f(n)＝n3 答案 解析 解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33， 13＋15＋17＋19＝64＝43，…， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3. 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明. 解答 (2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1； 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 下面对①的猜想进行证明. 如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC， 平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面. 设AB＝a，AC＝b，AD＝c， 即所证猜想为真命题. 反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性. 跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成. 通过观察可以发现：第4个图形中有_____根火柴棒；第n个图形中有_____根火柴棒. 13 3n＋1 解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13. 通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以an＝3n＋1. 答案 解析 类型二 综合法与分析法 证明 证明 分析法 ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∵1－cos α>0， ∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立. 综合法 ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互 ... ...
