贵阳市2019年高三适应性考试（一） 理科数学参考答案与评分建议 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A A B A B B C D C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13． ； 14． ； 15．，； 16．， 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理得：， 即 ， 故 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ；………………………………………………………6分 （2）因为成等比数列， 所以， 由余弦定理得 ， 由重要不等式知 ， 所以， 因为 ，且函数在上是减函数， 所以． ……………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）由题意可得列联表 积极型 懈怠型 总计 男 13 7 20 女 8 12 20 总计 21 19 ， 所以，因此，可能的最大值为；……………………………6分 （2）该天行走步数超过10000步的有男女共人，则， 所以的分布列为 所以．………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）取中点，连结， 因为平面平面，， 所以平面，， 易知， 所以平面， 所以，而， 所以平面；………………………………………………………6分 （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，（轴垂直交于，轴垂直交于，为轴）则，，， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，所以， 令，解得，，即， 由（1）知是平面的一个法向量，且 ， 又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）设动点，则, , 即（）.…………………6分 （2）当的斜率不存在时，, 若,. 当直线的斜率存在时，设的方程为， ，联立方程组 ，消去得, 设，则 . , . 综上所述，为定值．.…………………12分 21．（本小题满分12分） 解：函数的定义域为 （1），由题意，所以， 解之得：；………………………………………………………………4分 （2）时，即当时恒有，又 整理得：， 令，则 令， 由恒成立，即在上单调递增， 且，则，所以时，时， 所以时，此时单调递减，时，此时单调递增， 所以， 所以；……………………………………………8分 （3）（i）当时不等式显然成立； （ii）当时，不妨设 由且， 所以恒成立，此时单调递减， 所以要证明：成立， 即证明：，整理得：， 只需证明是上的减函数， ，故对函数有： 时恒成立，所以时恒有， 即是上的减函数，故所证成立．…………………………………12分 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲 解：（1）由消去得的普通方程为 ① 将代入①化简得，即的极坐标方程为； 将代入的方程，得，化简得即的极坐标方程为；……………………………5分 （2）由极径的几何意义， ， 所以当时，， 所以的最大值为．………………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）， 所以当时，的解集为空集，当时，由得，即，当时恒成立， 综上，不等式的解集为；．………………………………………5分 （2）由（1）知， 所以“任意的，都有”等价于“任意的，都有恒成立”，即任意都有， 又因为， 所以解得或， 所以的取值范围是或．……………………………………10分 ... ...
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