中小学教育资源及组卷应用平台 1．3.3 函数的最大(小)值与导数（解析版） 考 点 考纲要求 要求 题型 求函数的最值 利用导数求函数在给定区间上的最大值、最小值的方法和步骤. II 选择，填空，解答题 已知函数的最值求参数值或范围。与函数最值有关的不等式恒成立问题 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件. III 解答题 知识梳理 一、函数的最大值与最小值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有最大值和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 二、函数最值的求法 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行： 1．当函数f(x)单调时，若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2．当函数f(x)不单调时， (1)求y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 典例讲解 考向一 求函数的最值 [典例1] 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数； (3)f(x)＝＋，x∈(0,1)，a>0，b>0. [解析] (1)f′(x)＝＋cos x. 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 ? ＋ ? － ? π ∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)f′(x)＝ ′－(ex)′＝－－ex＝－. 当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立， 即f(x)在[0，a]上是减函数． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－＋＝. 令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得x＝或x＝(舍去)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 1 f′(x) － 0 ＋ f(x) ? (a＋b)2 ? 从上表可知当x＝时， f(x)有最小值f＝(a＋b)2， 在x∈(0,1)上，函数无最大值． 求函数的最值的方法： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论． 1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. 解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0解得x＝－或x＝. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8， 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝2cos 2x－1， 令f′(x)＝0，－≤x≤，得x＝－或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － (－，－) － (－，) (，) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ? － ? － ? － 由上表可知： 当x＝－时f(x)取得最大值f＝， 当x＝时f(x)取得最小值f＝－. 考向二 已知函数的最值求参数值或范围 [典例2] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]时f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． [解析] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾． ∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当a>0时，列表如下： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值． ∴f(0)＝3，即b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
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