第四单元 图形的初步知识与三角形 第3讲 等腰三角形 考 点 知 识 清 单 考点一 等腰三角形的性质与判定 定义 有①_____相等的三角形是等腰三角形。 性质 等腰三角形是轴对称图形，有②_____条对称轴。 等腰三角形的两个③_____相等（简称“④_____”）。 等腰三角形的顶角⑤_____，底边上的⑥_____、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“⑦_____”）. 【温馨提示】 等腰三角形的对称轴是底边上中线（或底边上的高，或顶角的平分线）所在的直线，不要说成底边上的中线是对称轴，对称轴是一条直线，而中线是一条线段. 考点二 等边三角形的性质与判定 定义 ⑧_____相等的三角形是等边三角形. 性质 等边三角形是轴对称图形.有⑨_____条对称轴. 等边三角形的三个内角都⑩_____，且都等于?_____. 判定 ?_____都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是?_____的_____三角形是等边三角形. 考点三 线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____。 2.线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_____。 题 型 归 类 探 究 类型一 等腰三角形的性质与判定（重难点） 【典例1】（2018·雅安）已知:如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ） A.2 B.2 C. D. 【思路导引】 在等腰△ABC与等腰△BCD中，计算∠A与∠BDC的度数，从而可得∠ABD的大小，进一步得∠ABD＝∠A，于是有AD＝BD＝BC. 【自主解答】 【反思归纳】1.等腰三角形的性质“等边对等角”，是三角形中边与角关系转化的纽带.当利用方程思想求角度时，等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用。 2.等腰三角形“三线合一”的性质，不仅能够证明相关的线段或角相等，还可以证明相关线段之间的关系，并且利用等腰三角形的性质解题，往往要比利用三角形全等简捷明快. 【变式训练】 1.（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ） A.20° B.35° C.40° D.70° 【典例2】（2018·嘉兴）已知:在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. 求证:△ABC是等边三角形。 【思路导引】根据已知条件，易证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），于是可得∠A＝∠C＝∠B，因此，△ABC是等边三角形。 【自主解答】 【方法技巧】1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形也是轴对称图形，并且有3条对称轴。 2.等边三角形的判断方法的选择:（1）若已知三边关系，则考虑运用等边三角形的定义进行判定；（2）若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定；（3）若已知该三角形是等腰三角形，则可再寻找一个内角等于60°即可。 【变式训练】 2.（2018·玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 类型三 线段的垂直平分线（高频点） 【典例3】（2018·毕节）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是_____。 【思路导引】 根据DE是AB的垂直平分线，得到AE与BE的关系，进而将△BCE的周长转化为已知线段的和求解。 【自主解答】 【方法技巧】 线段的垂直平分线性质的应用:在遇到线段的垂直平分线时，常利用线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，构成等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解决问题。 【变式 ... ...
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