4.1 圆的方程

圆的标准方程 赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 复习引入 A M r x O y 问题 1、什么是圆？ 如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。 2、圆有什么特征呢？ 思考： 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 圆心－－确定圆的位置 半径－－确定圆的大小 (1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本要素是圆心和半径． x O y A (a,b) M r (x, y) 引入新课 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离． 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 符合上述条件的圆的集合： 圆的方程 x O y A (a,b) M r (x, y) 问题 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 则点M、A间的距离为： 即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上． 问题 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程 问题:圆的标准方程有什么特征? （1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方； （2）两个变量的系数都是1 （3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 问题 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得： 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系 探究 A x y o M1 M2 M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 探究 A x y o M1 M2 M3 可以看到：点在圆外———点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内———点到圆心的距离小于半径 r ． 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解法一：设所求圆的方程是 （1） 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是 所以， 的外接圆的方程 ． 解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解： 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 待定系数法 ? ? ? í ì = = = . 25 , -3 , 2 2 r b a 解法二： l2 l1 因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线 AB的斜率 因此线段AB的垂直平分线 l1 的 ... ...