专题七 不等式 【真题典例】 7.1 不等式及其解法 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 1.不等式的概念和性质 1.了解不等式的概念,理解不等式的性质,会比较两个代数式的大小,会判断关于不等式的命题的真假 2.结合不等式的性质,会使用比较法等证明不等式 2017北京,13 不等式的性质 ★★ 2016北京,5 2013北京文,2 函数的单调性 2.不等式的解法 1.会解一次不等式、一元二次不等式,能把简单的分式不等式、绝对值不等式、指数不等式、对数不等式转化为整式不等式求解 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 2018北京,8 不等式组的解法 元素与集合的关系的判断 ★★★ 分析解读 不等式的性质是高考常考内容,单独命题较少,常与其他知识综合在一起考查,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件是正确应用性质的前提.利用不等式的性质比较大小是高考的热点. 不等式的解法是每年的必考内容,特别是求函数定义域的问题,其实质就是求解不等式(组).应特别注意以下三类问题:1.分式不等式常转化为整式不等式(组),利用一元二次不等式的解法或函数的单调性求解;2.以不等式恒成立为背景求参数的取值范围,一般是将参数分离出来转化为函数的最值问题来求解;3.与三角函数、解析几何、数列等知识结合起来,可以类比函数的单调性或转化为函数的单调性问题来求解. 本节内容在高考中分值为5分左右,属中档偏易题. 破考点 【考点集训】 考点一 不等式的概念和性质 1.已知非零实数a,b满足a
0 B.> C.abb,则( ) A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a3>b3 答案 D 考点二 不等式的解法 3.若集合A={x|-30},则A∩B=( ) A.{x|-3-3} 答案 B 4.已知集合A={x|2x-1>1},B={x|x(x-2)<0},则A∩B= .? 答案 {x|1b2 B.1>> C.+<2 D.aeb>bea 答案 D 2.已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) A.a2-b2>0 B.cos a-cos b>0 C.-<0 D.e-a-e-b<0 答案 D 方法2 比较实数大小的常用方法 3.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+<y>0,则( ) A.> B.> C.cos x>cos y D.ln(x+1)>ln(y+1) 答案 D 方法3 一元二次不等式恒成立问题的解法 5.不等式ax2-x+a>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 .? 答案 6.已知不等式mx2-2x-m+1<0. (1)是否存在实数m对所有的实数x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围. 解析 (1)不存在.理由如下: 不等式mx2-2x-m+1<0恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 当m=0时,原不等式可化为1-2x<0,则x>,不满足题意; 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数, 需满足其图象开口向下且与x轴无交点, 即易知无解. 综上可知,不存在满足题意的实数m. (2)从形式上看,原不等式是一个关于x的一元二次不等式,可以换个角度,把它看成关于m的一元一次不等式,并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围. 设g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 要满足题意,只需 即 解①得x<或x>,解②得