中小学教育资源及组卷应用平台 2.3 数学归纳法 考 点 考纲要求 要求 题型 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明不等式 了解数学归纳法的原理..能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ii 解答题 知识梳理 一、数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步，归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． 第二步，归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． 二、数学归纳法的框图表示 典例解析 考向一 用数学归纳法证明等式 [典例1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)． 1．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 考向二 用数学归纳法证明不等式 [典例2] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(其中n∈N*，n>1)． 2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)． 考向三 归纳—猜想—证明 [典例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 3．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 过关检测 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( ) A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ 6．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( ) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明( ) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋＋<2－ D．1＋＋＋<2－ 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A．30 B．26 C．9 D．6 9．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)
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