第三章 3.4 第1课时 A级 基础巩固 一、选择题 1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( D ) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [解析] ∵2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时，等号成立)， ∴≤，∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2． 2．(2018－2019学年度山东昌乐一中高二月考)设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为( A ) A． B． C． D．4 [解析] ∵2a＋3b＝6，∴＋＝1， ∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 3．(2018－2019学年度江西戈阳一中高二月考)下列结论正确的是( D ) A．当x＞0，x≠1时，lgx＋≥2 B．当x≥2时，x＋的最小值为2 C．当x∈R时，x2＋1＞2x D．当x＞0时，＋的最小值为2 [解析] 当0＜x＜1时，lgx＜0，排除A；当x≥2时，y＝x＋单调递增，ymin＝2＋＝，排除B；当x＝1时，x2＋1＝2x，排除C，故选D． 4．函数f(x)＝的最大值为( B ) A． B． C． D．1 [解析] 令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝． 当t＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝＝． ∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为． 5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( D ) A．0 B．1 C．2 D．4 [解析] 由等差、等比数列的性质得 ＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4． 6．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( A ) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 [解析] ∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1 ≤－2－1 ＝－2－1， 等号在－2x＝，即x＝－时成立． ∴f(x)有最大值． 二、填空题 7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__[，＋∞)__． [解析] 令f(x)＝(x>0) ＝≤＝， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， ∴a≥f(x)max＝． 8．已知正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__． [解析] 因为x、y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9． 三、解答题 9．已知x>0，y>0． (1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值； (2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值． [解析] (1)∵x>0，y>0， 由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·． 又∵2x＋5y＝20， ∴20≥2·， ∴≤，∴xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 由，解得． ∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10． 这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1． ∴当x＝5，y＝2时，umax＝1． (2)由已知，得x·y＝100， 5x＋2y≥2＝2＝20． ∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2， y＝5时，等号成立． 所以5x＋2y的最小值为20． 10．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm，(0
2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2， ∴a＋b>a2＋b2，故选D． 解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大． 2．(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B ) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ [解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0． ∴1＋x＝≤ ＝1＋，∴x≤， 等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B． 3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( A ) A． B． ... ... 