第6讲 函数的奇偶性与周期性 / / 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 ,那么函数f(x)是偶函数? 都有 ,那么函数f(x)是奇函数? 图像特征 关于 对称? 关于 对称? 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.? (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.? 常用结论 1.奇(偶)函数定义的等价形式: (1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数. 2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)= 1 ??(??) ,则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x= ??+?? 2 对称; (3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点 ??+?? 2 ,0 对称; (4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点 ??+?? 2 , ?? 2 对称. / 题组一 常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)= 1 ?? +|x|中,偶函数的个数是 .? 2.[教材改编] 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是 函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是 函数.? 3.[教材改编] 已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)= ?? -1,则f(-2)= .? 4.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)= .? 题组二 常错题 ◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域. 5.函数f(x)= lg(1- ?? 2 ) |??+3|-3 是 函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”)? 6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线 对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点 成中心对称.? 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f ??+ 3 2 ,且f(2)=2,则f(2018)= .? 8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)= .? / /探究点一 函数奇偶性及其延伸 / 微点1 函数奇偶性的判断 例1 (1)[2018·杭州模拟] 设函数f(x)= 2 ?? ?? -1 +b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性 ( ) A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 ( ) ①f(x)= 1-?? 1+?? ;②f(x)=log3( ?? 2 +1 +x); ③f(x)= ?? 2 -1,??<0, - ?? 2 +1,??>0; ④f(x)=x2+cos x. A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1 ? ? ? [总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 微点2 函数 ... ...
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