第一次联合模拟考试 文科数学答案 选择题 1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD 二．填空题 13. 3 14. 乙 15. 30 16. 三．解答题 17．解：（Ⅰ） …………………2分 ∵，∴， …………………4分 ∴ ∴函数的值域为； …………………6分 （Ⅱ）∵∴ ∵，∴，∴，即 …………………8分 由余弦定理，，∴，即 又，∴ …………………10分 ∴ …………………12分 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件 设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D,其中A表示近视的学生, 随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种情况, 其中事件共有3种情况, 即AB,AC,AD, 所以 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为． …………………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 …………………8分 所以的观测值， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. …………………12分 19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 ∴ …………………2分 ∵⊥平面，平面，∴ ∴ ∵ ∴ …………………4分 设点到平面的距离为, ∵ , …………………6分 （方法二）：由已知 ∴ ………………2分 ∵⊥平面，平面 ∴平面⊥平面 ∵平面平面 在平面ABCD内，过作⊥，交延长线于， 则⊥平面 ∴的长就是点到平面的距离 …………………4分 在中，== ∴点到平面的距离为 …………………6分 （Ⅱ）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥, ∴⊥平面，平面 ∴⊥ ⊥平面，平面 ∴⊥ ∴∥ 由⊥ 得： …………………10分 …………………12分 20. 解：（Ⅰ）焦点为，则， 解得，所以椭圆的标准方程为 …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线方程为， 联立 得 易知则 .........6分 =． 因为，所以，解得． ……..................8分 联立，得， 设，则 ….....…….........10分 ….....…….........12分 21. 解：（Ⅰ）当时，，， .....….................1分 令 则 列表如下： 1 单调递减 极小值 单调递增 ....…..................3分 所以. ......….......…....5分 （Ⅱ）设， ， 设，， ...........…........7分 由得，，，在单调递增， 即在单调递增，， 当，即时，时，，在单调递增, 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解. ..........9分 ②当，即时，由（Ⅰ）可知， 所以，又 故，当时，，单调递减，又， 故当时，， 在内，关于的方程有一个实数解1. 又时，，单调递增， 且，令， ,,故在单调递增，又 在单调递增，故，故， 又，由零点存在定理可知，， 故在内，关于的方程有一个实数解. 又在内，关于的方程有一个实数解1. 综上，. ........................12分 22.解：（Ⅰ） ……..................2分 所以曲线的极坐标方程为. …….................4分 （Ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角， 代入曲线得设所对应的极径分别为. …….................7分 …….................8分 满足或 的倾斜角为或， 则或. …….................10分 23．解：（Ⅰ）因为， 所以 ，解得 . 故实数的取值范围为. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 根据柯西不等式 …….................8分 等号在即时取得。 …….................9分 所以的最小值为. …….................10分 ... ...
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