第八节 正弦定理和余弦定理的实际应用(数学建模三) A组 基础题组 1.已知A、B两地间的距离为10 km,B、C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( ) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 答案 D 如图所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, 所以AC=10(km). 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度BC等于( ) A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m 答案 C 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD===60 m,在Rt△ABD中,BD====60(2-)m,∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)m. 3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( ) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 答案 A 如图所示,易知在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=, 解得BC=10 海里. 4.地面上有两座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( ) A.50 m,100 m B.40 m,90 m C.40 m,50 m D.30 m,40 m 答案 B 设高塔高H m,矮塔高h m,在O点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan α=,tan =, 根据三角函数的倍角公式有=.① 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角, 所以在O点望矮塔塔顶的仰角为-β. 由tan β=,tan=, 得=.② 联立①②解得H=90,h=40. 即两座塔的高度分别为40 m,90 m. 5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( ) A.5 B.15 C.5 D.15 答案 D 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°. 由正弦定理得=,所以BC=15. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.故选D. 6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为 海里/小时.? 答案 解析 如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN中,=,∴MN=68×=34 海里. 又由M到N所用的时间为14-10=4小时, ∴此船的航行速度v== 海里/小时. 7.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距 m.? 答案 10 解析 由题意画示意图,如图, OM=AOtan 45°=30(m),ON=AOtan 30°=×30=10(m), 在△MON中,由余弦定理得, MN===10(m). 8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ= .? 答案 -1 解析 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由三角形内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,在△ABD中,根据正弦定理可得=,即DB=100sin 15°=100×sin(45°-30°)=25×(-1),则在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得cos θ=-1. 9.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN. 解析 由题意得,AC=BC=100 m. 在△MAC中,∠CMA=180°-75° ... ...
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