2019年河南省六市高三第一次联考试题 数学（文科）参考答案 一、选择题 1-6 BDAACD 7-12 ADBCDB 二、填空题 13．－1; 14．; 15．; 16. 三、解答题 17．（本小题满分12分） 【解析】 （Ι）因为，所以，所以 ，由正弦定理得，所以 ，，解得． --6分 （Ⅱ）由余弦定理得，， 因为．所以，解得，所以． 所以的面积的最大值为． --12分 18．（本小题满分12分） 【解析】 （Ι）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 --2分 根据列联表中的数据，得到, 因为,所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”． --6分 （Ⅱ）记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况， --8分 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 所以，所求事件的概率. --12分 19．（本小题满分12分） 【解析】 （Ι）证明： ∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD?平面PAD， PA?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD. --3分 ∵PD?平面PAD， ∴AB⊥PD. ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB?平面ABM，BM?平面ABM， ∴PD⊥平面ABM. --6分 （Ⅱ）由（Ι）可得∴AM⊥PD.又PA＝AD ∴M是PD中点，--8分 ∴， 设B到平面的距离为d， ∵=， ∴. 解得 --12分 20．(本小题满分12分) 【解析】 （Ι）由题意得2b＝2，解得b＝1， ∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝，c＝1， 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. --3分 （Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，C， 故S△ABC＝×2×＝； --4分 ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立方程组得，化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1·x2＝， |AB|＝ ＝＝2·， --8分 又点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝＝， ∵O是线段AC的中点， ∴点C到直线AB的距离为2d＝， --9分 ∴S△ABC＝|AB|·2d＝·· ＝2 ＝2 ＜. 综上，△ABC面积的最大值为. --12分 21．(本小题满分12分) 【解析】 （Ι）由f′(x)＝ >0?x<2， 所以f(x)在(－∞，2)单调递增，在(2，＋∞)单调递减；--2分 f(x)极大值＝f(2)＝e－2，无极小值； --4分 （Ⅱ）证明：g(x)＝，记h(x)= f(x)-g(x)＝＋(x－3)ex 所以h′(x)＝＋[ex＋(x－3)ex] ＝＋(x－2)ex-4＝(x－2)，--6分 当x>2时，h′(x) >0，∴h(x)在(2，＋∞)单调递增， 所以h(x)>h(2)＝0，即f(x)-g(x)>0 所以f(x) > g(x)；--8分 （Ⅲ）证明： 由（Ι）知当x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)?x1，x2不可能在同一单调区间， 不妨设x1＜2＜x2，由（Ⅱ）知f(x2)＞g(x2) --10分 又g(x2)＝f(4－x2)，f(x1)＝f(x2)?f(x1)＞f(4－x2)， 因为x2＞2?4－x2＜2且f(x)在(－∞，2)上为增函数， 所以x1＞4－x2，即x1＋x2＞4. -- --12分 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 【解析】 （Ⅰ）曲线的极坐标方程为， 因为曲线的普通方程为，所以， 所以曲线的极坐标方程为． --4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点的极坐标为，点的极坐标为， 所以，点到射线的距离为， 所以的面积为． --10分 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【解析】 （Ⅰ）由题意知，原不等式等价于 或或， 解得或或， 综上所述，不等式的解集为． --4分 （Ⅱ）当时，则，只需，不可能！ 当时，， 要使函数恒为正值，则 当时，恒成立， 只需要 综上所述，实数的取值范围是：． --10分 ... ...
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