课件37张PPT。第 二 章数列2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质自主预习学案 1．等差数列{an}的一些简单性质 (1)对于任意正整数n、m都有an－am＝(n－m)d. (2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则 ap＋aq＝ar＋_____. 特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝_____.as 2ar (3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差，公差为d，则{ban}也成等差数列，且公差为_____. (4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn则{cn}，{dn}都是等差数列． (5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列． bd 2．等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列，当d<0时，等差数列{an}是单调递_____数列；当d>0时，等差数列{an}是单调递_____数列．减 增 1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝20，则a2＋a10＝ ( ) A．12 B．16 C．20 D．24 [解析] 由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝20.C 2．已知等差数列{an}中，a3＝4，a6＝8，则a9＝ ( ) A．10 B．12 C．14 D．16 [解析] 由等差数列的性质，得2a6＝a3＋a9， ∴a9＝2a6－a3＝16－4＝12. B 3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ( ) A．35 B．38 C．40 D．42 [解析] ∵数列{an}、{bn}都是等差数列，∴a1＋b1＋a5＋b5＝(a1＋a5)＋(b1＋b5)＝2a3＋2b3＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－(a1＋b1)＝42－7＝35. A 4．已知等差数列{an}，若a2 008和a2 012是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则a2 003＋a2 017＝_____. [解析] 由题意得a2 008＋a2 012＝5， 又∵数列{an}为等差数列， ∴a2 003＋a2 017＝a2 008＋a2 012＝5. 5 5．在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝18，a6＋a8＋a10＝27，若ak＝21，求k的值． [解析] ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝18，∴a7＝6，又∵a6＋a8＋a10＝3a8＝27，∴a8＝9， ∴公差d＝a8－a7＝3，又ak＝21， ∴ak＝a7＋(k－7)d，∴21＝6＋3(k－7)， ∴k＝12.互动探究学案命题方向1 ?等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例题 1[点评] 1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75. 2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 3．解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．『规律总结』 解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口．〔跟踪练习1〕 等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.7 命题方向2 ?运用等差数列性质am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题 在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式． [分析] 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2＋a5＋a8＝9和a3a5a7＝－21直接求解很困难，这样促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a2＋a8＝2a5＝a3＋a7问题就好解了．例题 2 [解析] ∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21， 又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a3＋a7＝2a5＝6， ① ∴a3·a7＝－7， ② 由①、②解得a3＝－1，a7＝7，或a3＝7，a7＝－1， ∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2. 由an＝a3＋(n－3)d， 得an＝2n－7，或an＝－2n＋13.『规律总结』 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转 ... ...
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