天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一） 数学（理）试题参考答案与评分标准 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D A C D 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9． 10．20 11． 12． 13． 14． 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分） 15．解：（Ⅰ）在△ABC中，根据余弦定理，， …………1分 于是， ……………………………………………………………3分 解得（舍去）， 故. …………………………………………5分 （Ⅱ）在△ABC中，，于是 . ……………6分 根据正弦定理，得，所以. …………………………8分 又为钝角，所以为锐角，即. ……………9分 从而，， ……11分 所以. ……………13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选高校”为事件，则 . ………………………………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D高校的概率为： …………………4分 乙、丙同学选中D高校的概率为： ……………………………5分 所以甲同学选中D高校且乙、丙都未选中D高校的概率: . …………………………………………7分 （ⅱ）易知，所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分 所以，有； ； ； ； …………………………………………………11分 所以，的分布列为 0 1 2 3 ……………………………………12分 因此. ……………………………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面平面， 平面平面， 平面，， 所以直线平面. ………………1分 由题意，以点为原点，分别以的方向 为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标 系，则可得： . ………………………………………………2分 依题意，易证：是平面的一个法向量， 又，所以， 又因为直线平面，所以. ………………………4分 （Ⅱ）解：因为. 设为平面的法向量， 则，即. 不妨设，可得. ………………………………………………6分 设为平面的法向量， 又因为， 则，即. 不妨设，可得， ………………………………………………8分 所以， 又二面角为钝二面角， 故二面角的大小为. ……………………………………………9分 （Ⅲ）解：设（），则又， 又，即， …………………11分 所以，解得或（舍去）. 故所求线段的长为. ……………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）由已知得：， ∴数列是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分 ∵，∴，∴，……………………………………3分 ∴. …………………………………………………………………………4分 设等比数列的公比为q， ∵,∴，∴，………………………………5分 所以. …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意，得， …………8分 ∴， ∴…9分 上述两式相减，得 ………………10分 ……………………11分 ……………………………………………………12分 ∴. ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由在椭圆上，所以. ① ……………………1分 由已知得,所以 ………………………………………2分 又 所以. ② …………………………………………………4分 ②代入①解得. 故椭圆的方程为. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在常数,使得向量共线， 所以 即 . ……………………………7分 由题意可设的斜率为, 则直线的方程为， ③ 代入椭圆方程并整理,得, 设,则有 . ④ ………………………………………9分 在方程③中令得,的坐标为. 从而. ………………10分 所以 ⑤ ……………………………………11分 ④代入⑤得, 又,所以. ………………………………………13分 故存在常数符合题意. ………………………………… ... ...
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