天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学（文）试题 word版含答案

2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数学试卷（文史类）参考答案 2019.03 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 A B C B C D C B 二、填空题： （9）0； （10）0； （11） 1 ； 6 （12）2 3 ； （13） 7 ? ； （14）( 11 ，6) 2 3 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）这 5 天的平均发芽率为 23 ? 25 ? 30 ? 26 ? 16 100 100 100 100 100 ×100%=24%． 5 分 5 （Ⅱ）m，n 的取值情况有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)， (25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)， 基本事件总数为 10． 9 分 则事件 A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)．……10 分 3 所以 P(A)= 10 ． 13 分 （16）解：（Ⅰ）∵B=2C，sinC= ， 4 ∴cosB=cos2C=1–2sin2C= 1 ． 2 分 8 ∵B=2C，∴C 为锐角，∴cosC＞0， ∴cosC= = 3 ． 4 分 4 而 sinB= = 3 7 ， 6 分 8 9 ∴cosA=–cos(B+C)=–(cosBcosC–sinBsinC)= 16 ． 9 分 （Ⅱ）∵ b  sinB 3 = c sinC  而 sinC=  ，sinB= 4 8  ， 10 分 ∴b= 2 c，又 bc=24，∴b=6，c=4， 12 分 ∴a2=b2+c2–2bccosA=25，∴a=5． 13 分 解：（Ⅰ）连结 BF． 在△ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 的中点， ∴DE∥AB， ∴∠FAB 或其补角为异面直线 AF 与 DE 所成角． 2 分 由 AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E 是 BC 的中点，得 AE= ． ∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥AE． 在 Rt△SAE 中，SE= 2 3 ，可得 AF= ． 4 分 3 ∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥BC，又 BC⊥AE， S ∴BC⊥平面 SAE， ∴BC⊥SE， 1 ∵EF= ∴BF= SE= 3 3 ． 3 ，BE= ， B C ∴cos∠FAB= ， 3 即异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值 3 ． 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AE2=EF2+AF2，∴AF⊥SE． ∵BC⊥平面 SAE，∴BC⊥AF． 又 SE∩BC=E，∴AF⊥平面 SBC． 9 分 （Ⅲ）延长 AG 交 BC 于 P 点，连结 PF． 由（Ⅱ）知 AF⊥平面 SBC，∴PF 为 AP 在平面 SBC 上的投影， ∴∠APF 即为直线 AG 与平面 SBC 所成角． 11 分 ∵G 为线段 DE 的中点， ∴CP=2PE， 又 SF=2FE， ∴PF= 1 3  SC= 3  ，AP= ， 3 ∴cos∠APF= ， 5 即直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为  ． 13 分 5 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d．由 a5=3a2 得 d=2a1， ………① 由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………② 由①②解得 a1=1，d=2． 所以数列{an}的通项公式为 an=2n–1． 4 分 （Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 得 an+bn=2n–1，即 2n–1+bn=2n–1， 所以 bn=2n–1–2n+1． 6 分 所以 bn(an+bn)=2n–1·(2n–1–2n+1)=4n–1–(2n–1)·2n–1． 7 分 ∴Pn=40+41+…+4n–1= 1 ? 4n 1 ? 4 4n ? 1 = 3  ． 8 分 Qn=1·20+3·21+5·22+…+(2n–3)·2n–2+(2n–1)·2n–1 ……③ 2Qn=1·21+3·22+5·23+…+(2n–3)·2n–1+(2n–1)·2n ……④ ③–④得 –Qn=1·20+2·21+2·22+…+2·2n–1–(2n–1)·2n =(3–2n)·2n–3， ∴Qn=(2n–3)·2n+3． 12 分 ∴Tn=Pn–Qn= 4n ? 1  3 –(2n–3)·2n–3= 4 3 –(2n–3)·2n– 10 3  ． 13 分 （19）解：（Ⅰ）由题设： ? a 6 ，bc= 3 ，解得 a2=3，b2=1， ∴椭圆 C 的方程为 x2 ? 2  3 ? 1 ． 3 分 （Ⅱ）设 A(x1，y1)、B(x2，y2)． 当 AB⊥x 轴时，|AB|= 3 ． 4 分 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m， 由已知 ? 3 ，得 m2= 3 (k2+1)． 6 分 2 4 把 y=kx+m 代入椭圆方程消去 y，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2–3=0， ?6km 有 x1+x2= 3k 2 ?1 ，x1x2= 3(m2 ?1)  3k 2 ?1  ． 7 分 2 2 2 2 ? 36k 2m2 12(m2 ?1)? 得|AB| =(1+k )(x1–x2) =(1+k ) ?(3k 2 ? 1)2 ? 3k 2 ?1 ? ? ? = 12(k 2 ?1)(3k 2 ? 1? m2 ) = 3(k 2 ? 1)(9k 2 ?1) ( ... ...