天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学（理）试题 word版含答案

2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数学试卷（理工类）参考答案 2019.03 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 A B C B C D C B 二、填空题： （9）0； （10）–10； （11） 1 ； 6 （12）2 3 ； （13）2； （14）( 11 ，6) 3 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）∵B=2C，sinC= ， 4 ∴cosB=cos2C=1–2sin2C= 1 ． 2 分 8 ∵B=2C，∴C 为锐角，∴cosC＞0， ∴cosC= 而 sinB= = 3 ． 4 分 4 = 3 7 ， 6 分 8 9 ∴cosA=–cos(B+C)=–(cosBcosC–sinBsinC)= 16 ． 9 分 （Ⅱ）∵ b  sinB 3 = c sinC  而 sinC=  ，sinB= 4 8  ， 10 分 ∴b= 2 c，又 bc=24，∴b=6，c=4， 12 分 ∴a2=b2+c2–2bccosA=25，∴a=5． 13 分 C1C2C1 9 （16）解：（Ⅰ）事件 A 为随机事件，P(A)= 3 3 6 = 9 14  ． 4 分 （Ⅱ）?可能的取值为 2，3，4，5，6． 5 分 P(?=2)= 3 = 1 9 12 C1C1 1 ， ( ) ， 2 9 C2 ? C1C1 ( ) 2 9 1 C1C1 1 ， ( ) ， 2 9 P(?=6)= 3 = 1 9 12  ． 11 分 ∴?的分布列为： E?=2× 1 +3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 1  =4． 13 分 12 4 3 4 12 解：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C?xyz，则 A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，D(1， 0，0)，E(1，1，0)． 2 分 由 SF=2FE 得 F( 2 3 2 2 ， ， )． 3 3 ∴ AF =( 2 ， 2 ， 2 3 3 3 )， BC =(2，–2，0)， SC =(2，0，–2)， ∵ AF · BC =0， AF · SC =0， ∴ AF ⊥ BC ， AF ⊥ SC ， ∴AF⊥平面 SBC． 5 分 （Ⅱ）设 n1=(x1，y1，z1)是平面 SBD 的一个法向量， 由于 DS =(–1，0，2)， DB =(–1，2，0)，则有 ??n1 ? DS ?(x1，y1，z1)?( ? 1，0，2)? ?x1 ? 2z1 ? 0， ? ??n1 ? DB ?(x1，y1，z1)?( ? 1，2，0)? ?x1 ? 2 y1 ? 0 令 x1=2，则 y1=1，z1=1，即 n1=(2，1，1)， 设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为?，而 AS =(0，0，2)， 所以 sin?=|cos|= |n1 ? AS | =  ． 9 分 |n1|?|AS| 6 （Ⅲ）假设满足条件的点 G 存在，并设 DG=t．则 G(1，t，0)． 所以 AE =(1，1，0)， AG =(1，t，0)． 设平面 AFG 的法向量为 n2=(x2，y2，z2)， ?n ? AF ?(x ，y ，z )?( 2 2 2 )? 2 x     2 y  2 z  ? 0， ? 2 2 2 2 则? ， ， 3 3 3 3 2 3 2 3 2 ??n2 ? AG ?(x2，y2，z2 )?(1，t，0)? x2 ? ty2 ? 0，取 y2=1，得 x2=–t，z2=t–1，即 n2=(–t，1，t–1)． 设平面 AFE 的法向量为 n3=(x3，y3，z3)， ?n ? AF ?(x ，y ，z )?( 2 2 2 )? 2 x     2 y  2 z  ? 0， ? 3 3 3 3 则? ， ， 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ??n3 ? AE ?(x3，y3，z3 )?(1，1，0)? x3 ? y3 ? 0，取 y3=1，得 x3=–1，z3=0，即 n3=(–1，1，0)． 由得二面角 G?AF?E 的大小为 30°，得 cos30°= |n2 ? n3 | = | ? t ?( ?1)? 1?1 ?(t ?1)? 0 | = 3 ，化简得 2t2–5t+2=0，  |n2 |?|n3| 2 ? ( ? t)2 ? 1 ?(t ? 1)2 2 1 1 又 0≤t≤1，求得 t= 2 ．于是满足条件的点 G 存在，且 DG= 2 ． 13 分 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d．由 a5=3a2 得 d=2a1， ………① 由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………② 由①②解得 a1=1，d=2． 所以数列{an}的通项公式为 an=2n–1． 4 分 （Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 得 an+bn=2n–1，即 2n–1+bn=2n–1， 所以 bn=2n–1–2n+1． 6 分 所以(–1)nbn(an+bn)=(–1)n·2n–1·(2n–1–2n+1)=(–1)n·4n–1+(–2)n–1(2n–1) =–(–4)n–1+(2n–1)·(–2)n–1． 7 分 ∴Pn=(–4)0+(–4)1+…+(–4)n–1= 1 ?( ? 4)n  1 ?( ? 4) 1 ?( ? 4)n = 5  ． 8 分 Qn=1·(–2)0+3·(–2)1+5·(–2)2+…+(2n–3)·(–2)n–2+(2n–1)·(–2)n–1 ... ...