第三讲 大题考法———解三角形 题型(一) 三角变换与解三角形的综合问题 主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小 (或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查. [典例感悟] [例1] (2018·南京学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝. (1)若c＝2a，求的值； (2)若C－B＝，求sin A的值． [解] (1)法一(角化边)：在△ABC中，因为cos B＝，所以＝. 因为c＝2a，所以＝，即＝， 所以＝. 又由正弦定理得，＝，所以＝. 法二(边化角)：因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝＝. 因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A， 所以sin C＝2sin(B＋C)＝cos C＋sin C， 即－sin C＝2cos C. 又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝， 所以＝. (2)因为cos B＝，所以cos 2B＝2cos2B－1＝. 又0＜B＜π，所以sin B＝＝， 所以sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 因为C－B＝，即C＝B＋， 所以A＝π－(B＋C)＝－2B， 所以sin A＝sin ＝sincos 2B－cossin 2B ＝×－× ＝. [方法技巧] 三角变换与解三角形综合问题求解策略 (1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是： (2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C, 以及在△ABC中，A>B?sin A>sin B等． [演练冲关] 1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2C＝csin B. (1)求角C； (2)若sin＝，求sin A的值． 解：(1)由正弦定理及bsin 2C＝csin B， 得2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B， 因为sin B>0，sin C>0，所以cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为C＝，所以B∈， 所以B－∈， 又sin＝， 所以cos＝ ＝. 又A＋B＝，即A＝－B， 所以sin A＝sin＝sin＝sin·cos－cossin＝×－×＝. 2．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. (1)求AB的长； (2)求cos的值． 解：(1)因为cos B＝，0＜B＜π， 所以sin B＝ ＝ ＝. 由正弦定理知＝， 所以AB＝＝＝5. (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 所以A＝π－(B＋C)， 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos ＝－cos Bcos＋sin Bsin. 又cos B＝，sin B＝， 故cos A＝－×＋×＝－. 因为0＜A＜π，所以sin A＝＝. 因此，cos＝cos Acos＋sin Asin ＝－×＋×＝. 题型(二) 解三角形与平面向量结合 主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题. [典例感悟] [例2] (2018·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S,3·＝2S. (1)求sin A的值； (2)若C＝，·＝16，求b. [解] (1)由3·＝2S， 得3bccos A＝2×bcsin A，即sin A＝3cos A. 整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)， 所以sin2A＝. 又A∈(0，π)，所以sin A>0，故sin A＝. (2)由sin A＝3cos A和sin A＝， 得cos A＝， 又·＝16，所以bccos A＝16， 得bc＝16.① 又C＝， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 在△ABC中，由正弦定理＝， 得＝，即c＝b.② 联立①②得b＝8. [方法技巧] 解三角形与平面向量综合问题的求解策略 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题． (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． [演练冲关] 1．(2018·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n. (1)求A－B的值； (2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长． 解：(1)因为m⊥n， 所以m·n＝coscos B＋sinsin B＝ cos＝0， 又A，B∈，所以A＋－B∈， 所以A＋－B＝，即A－B＝. (2)因为cos B＝，B∈，所以si ... ...
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