第二讲 运用空间向量求角 题型(一) 运用空间向量求两直线所成的角 主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角. [典例感悟] [例1] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且＝λ，PC⊥AB. (1)求λ的值； (2)求异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的棱长为2，取AC中点O，连结OB，则OB⊥AC.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)， 所以＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)． 因为PC⊥AB，所以·＝0， 得(＋)·＝0， 即(＋λ)·＝0， 即(λ，－2＋λ，2－2λ)·(，1,0)＝0，解得λ＝. (2)由(1)知＝，＝(0,2,2)， cos θ＝＝， 所以异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值是. [方法技巧] 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)． 2．用向量法求异面直线所成角的四步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [演练冲关] (2018·无锡期末)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点． (1)求EF与DG所成角的余弦值； (2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， ∵E，F，G分别为BC，PD，PC的中点， ∴E，F，G， ∴＝，＝， 设EF与DG所成的角为θ， 则cos θ＝＝. ∴EF与DG所成角的余弦值为. (2)存在MN，使得MN⊥平面PBC，理由如下： 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， ∵＝(0,1,0)，＝(1,0，－1)， ∴即取x＝1，得n＝(1,0,1)， 若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥n， 设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)， 则 ① ∵点M，N分别是线段EF与DG上的点， ∴＝λ，＝t， ∵＝，＝(x2，y2－2，z2)， ∴且 ② 把②代入①，得解得 ∴M，N. 故存在两点M，N，使得MN⊥平面PBC. 题型(二) 运用空间向量求直线和平面所成的角 考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角. [典例感悟] [例2] (2018·苏州暑假测试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，PA⊥平面ABCD. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由． [解] (1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz， 则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 从而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 不妨取z＝2，则y＝1，x＝1， 所以平面PCD的一个法向量n＝(1,1,2)， 此时cos〈，n〉＝＝－， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. (2)设＝λ (0≤λ≤1)，则E(0,2λ，1－λ)． 则＝(－1,2λ－1,1－λ)，＝(0,2λ，1－λ)， 由∠AEC＝90°得·＝2λ(2λ－1)＋(1－λ)2＝0， 化简得，5λ2－4λ＋1＝0，该方程无解， 所以棱PD上不存在一点E满足∠AEC＝90°. [方法技巧] 直 ... ...
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