2018-2019学年第二学期高二期中考试 数学试题（理科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 计算：的值为 ▲ . 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是 ▲ . 3. 已知，则= ▲ . 4. 已知复数，其中为虚数单位，则的模是 ▲ . 5. 用反证法证明“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ . 6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取 ▲ . 7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种. 8. 除以9的余数为 ▲ . 9. 若，则的值为___▲___. 10. 已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为 ▲ . 11. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是_ ▲ . 12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___. 13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则 ▲ . 14. 三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分） 已知复数是纯虚数. （1）求的值； （2）若复数，满足，求的最大值. 16. （本小题满分14分） （1）设，求证：； （2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证： ． 17. （本小题满分14分） 从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒； （4）甲不在第一棒. 18. （本小题满分16分） 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求的值； （2）求展开式中的项； （3）求展开式中系数最大的项. 19. （本小题满分16分） 已知等差数列的公差d大于0，且是方程的两根， 数列的前n项和为，且 (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为,试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明． 20. （本小题满分16分） 已知. （1）设，求中含项的系数； （2）化简：； （3）证明： 2018-2019学年第二学期高二期中考试 数学试题（理科）答案 一、填空： 1. 15 2. 3. 4或6 4. 5. a，b都不能被5整除 6. 5 7. 30 8. 9. 1 10. 11. 12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题： 15. 解:(1)复数 是纯虚数. ,计算得出. 的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设. ,,, . 可以知道:,. 的最大值为3................................................................................14分 注：法二：用复数的几何意义 16. （1）由……4分 因为所以 所以………………………7分 （2）（反证法）假设， 则．??? ① 而．??????? ② 由①②，得，即， 于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾， 故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分 17. 解：（1）60 ………………………3分 (2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分 (4)1470 ………………………14分 18 19. 解 (1)由已知得 因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9. 所以d＝ ... ...
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