云南省2019年中考数学重点题型专项训练 (共4份，含答案)

几何图形的证明与计算 类型一 简单几何图形的证明与计算 1.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与A，B重合），连接DE，点A关于DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值 第1题图 证明：（1）如解图①，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE， 第1题解图①∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°， 在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵ ，∴△DFG≌△DCG（HL），∴GF=GC； （2）结论：BH= AE，证明如下：证法一：如解图②，在线段AD上截取AM，使AM=AE， 第1题解图② ∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中， ∵ ，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM = AE，∴BH =AE； 如解图③中，取DE的中点O，连接OM，OA，AM，EM．∵△DEH是等腰直角三角形，DM=HM，∴EM=DM=HM，EM⊥DM，∵∠DAE=∠DME=90°，OD=OE，∴DO=OA=OE=OM，∴A，D，M，E四点共圆， 第1题解图③ ∴∠MAB=∠MDE=45°，∴∠DAM=∠MAB，∴点M在正方形的对角线AC上，当BM⊥AM时，BM的值最小，最小值为2 ． 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，连结AF、CE． （1）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；（2）若AB=5，2AE=3BF，求EF的长；（3）连结BE，若BE⊥CE，求的值. 第2题图 解：（1）四边形AFCE是菱形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形； （2）∵2AE=3BF，∴可以假设AE=3m，BF=2m，∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=3m， 第2题解图 在Rt△ABF中，，∵AB2+BF2=AF2， ∴25+4m2=9m2，∴m=∴AF=FC=， BF= ，∴BC= ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， AC=, ∴OC=, ∵tan∠OCF=, ∴,∴OF= ∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF,∴EF=2OF=. （3）设AE=a，BF=b则AF=CF=EC=a，BC=a+b，BF=DE=b．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠DEC=∠BCE，∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠D=90°，∴△CDE∽△BEC， ∴ ，∴ ，∴b2+ab－a2=0，∴+－1=0 ∴ （舍弃）. ∴. 3. (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图①)．求证：EB＝AD； (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由； (3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“若∠A＝90°”，其它条件不变，则的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程) 第3题图 (1)证明：如解图①所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，则AD＝AF， ∴∠FDC＝∠DCE， ∵∠A＝60°， ∴DF＝AD＝AF， 又∵∠DEB＝∠DCE， ∴∠FDC＝∠DEB， 第3题解图① 又ED＝CD，∠DBE＝∠DFC＝120°， ∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF， ∴EB＝AD. (2)解：EB＝AD成立．理由如下： 如解图②所示，过点D作DF∥BC交AC的延长线于F， 则AD＝AF＝DF，∠FDC＝∠ECD， 又∵∠DEC＝∠ECD， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD， 又∠DBE＝∠DFC＝60°， 第3题解图② ∴△DBE≌△CFD(AAS)； ∴EB＝DF， ∴EB＝AD. 解：＝. 【解法提示 ... ...