四川省绵阳市2019届（2016级）高三第三次诊断性考试数学理试题（PDF版）

理科数学答案第1页（共 7 页） 绵阳市高中 2016 级第三次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． BCDAA CDBCB CA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．1 14． 6 ? 15．24 16． 3 32 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．解：（1）由余弦定理 cosC= 2 2 2 2 a b c ab + ? ，且 2acosC=2b-c， 得 2a ? 2 2 2 2 a b c ab + ? =2b-c， 即 b2+c2-a2=bc． ……………………………………………………………3 分 ∴ cosA= 2 2 2 2 b c a bc + ? = 1 2 ． ……………………………………………………5 分 ∵ A∈(0，π)， ∴ A= 3 ? ． ………………………………………………………………………6 分 （2）在△ABD 中，AB=3，BD= 13 ，cosA= 1 2 ． 由余弦定理得 13=9+AD2-3AD， 解得 AD=4(负值舍去) . ………………………………………………………9 分 ∵BD 为 AC 边上的中线， ∴D 为 AC 的中点， ∴ AC=2AD=8． 所以 S△ABC= 1 2 AB ? ACsinA= 1 3 3 8 2 2 ? ? ? = 6 3． ………………………12 分 18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于 40”的事件为 A， 则 3 25 3 50 23 ( ) 196 C P A C = = . …………………………………………………………4 分 理科数学答案第2页（共 7 页） （2）设乙公司货车司机中转货车数为 t，则 6 40 7 40 40. t t X t t ?? = ? ? ?? ， ， ， 则 X 的所有取值分别为 228，234，240，247，254. 其分布列为 日工资 概率 228 234 240 247 254 P 1 10 1 5 1 5 2 5 1 10 于是 1 1 1 2 1 ( ) 228 234 240 247 254 241.8 10 5 5 5 10 E X = ? + ? + ? + ? + ? = . ………8 分 设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 u，则 4 80Y u= + ， 则 Y 的所有可能取值为 232，236，240，244，248. 则分布列为 日工资 概率 232 236 240 244 248 P 1 5 3 10 1 5 1 5 1 10 于是 1 3 1 1 1 ( ) 232 236 240 244 248 238.8 5 10 5 5 10 E Y = ? + ? + ? + ? + ? = .…………11 分 由 ( ) ( )E X E Y? 知， 若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12 分 19．解：（1）证明：过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O，连接 AO，BO． 由∠PAD=120?，可得∠PAO=60?． ∴ 在 Rt△PAO 中，PO=PAsin∠PAO=2? sin60?= 3 2 2 ? = 3 . ……………2 分 ∵ ∠BAD=120?， ∴ ∠BAO=60?． 又 PA=AB，∠PAO=∠BAO=60?，AO=AO， ∴ △PAO≌△BAO(SAS)， ∴ BO=PO= 3 ．……………………………4 分 ∵ E，F 分别是 PA，BD 的中点， 6 2 EF = ， P E D C A B F z x y O 理科数学答案第3页（共 7 页） ∴ EF 是△PBD 的中位线， ∴ PB=2EF= 6 2 2 ? = 6 ． 可得 2 2 2PB PO BO= + ， 所以 PO⊥BO． …………………………………………………………………5 分 ∵ AD∩BO=O， ∴ PO⊥平面 ABCD． 又 PO?平面 PAD， ∴ 平面 PAD⊥平面 ABCD． …………………………………………………6 分 （2）建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz. A(0，1，0)，P(0，0， 3 )，B( 3 ，0，0)，D(0，3，0)， ∴ E(0， 3 2 ， 3 2 )，F( 3 2 ， 3 2 ，0) ． ……………………………………7 分 平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0，0，1) ． ………………………………8 分 设平面 ACE 的法向量为 n2=(x，y，z) ． 又 AE =(0， 1 2 ， 3 2 )， AF =( 3 2 ， 1 2 ，0)， 由 2 2 0 0 AE AF ? ? =? ? ? =?? ， ， n n 得 1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 y z x y ? + =? ? ? ? + = ?? ， ， 令 x=1，得 y=- 3 ，z=1. ∴平面 ACE 的一个法向量为 n2=(1，- 3 ，1) ． …………………………10 分 设锐二面角 E-AC-D 的平面角大小为 θ， 则 cosθ=|cos＜n1，n2＞ |=| 1 2 1 2 n n n n ? ... ...