第六讲 专题提能———函数与导数、不等式”专题提能课 失误1 因概念不清而解题受阻 [例1] (2018·嘉兴高三基础测试)已知y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析] 设g(x)＝f(x)＋x，则f(－2)＝g(－2)－(－2)＝g(2)＋2＝f(2)＋2＋2＝5，故选D. [答案] D [微评] 这里的“y”并非f(x)，解此题时构造函数g(x)＝f(x)＋x，从而f(x)＝g(x)－x是关键一步，如果错以为“y是偶函数”，则“f(x)是偶函数”，则大错特错了． 引伸开来，解有关函数的奇偶性的问题，还要注意以下几点： (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)． (3)分段函数的奇偶性判定时，不要把分段函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性． 失误2 因忽视对对称性的讨论而失分 [例2] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝，若对任意实数t∈，都有f(t＋a)－f(t－1)>0恒成立，则实数a的取值范围是_____． [解析] ∵当x>0时，f(x)＝＝1－， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由f(t＋a)－f(t－1)>0得，f(t＋a)>f(t－1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(|t＋a|)>f(|t－1|)，则|t＋a|>|t－1|， 两边平方得，(2a＋2)t＋a2－1>0， ∵对任意实数t∈，都有f(t＋a)－f(t－1)>0恒成立， ∴对任意实数t∈，都有(2a＋2)t＋a2－1>0恒成立， 则化简得 解得a>0或a<－3， 则实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(0，＋∞)． [答案] (－∞，－3)∪(0，＋∞) [微评] 对于函数比较大小的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．如本题中，如果在得出f(t＋a)>f(t－1)之后，丢了这里的绝对值符号，则会因考虑不周而失分. 失误3 因忽视必备条件的讨论而失分 [例3] 设函数f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( ) A．[－，＋∞) B．(－∞，－3] C．(－∞，－3) D．[－，] [解析] 根据题意f′(x)＝x2＋2ax＋5≤0在区间[1,3]上恒成立，所以f′(x)＝x2＋2ax＋5的最大值小于或等于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以解得a≤－3，故选B. [答案] B [微评] 函数单调递减时，相应的导数值应该小于或等于零(等于零的点为有限个孤立点)，本题易错误地令f(x)<0，求得错解C. 失误4 因对双变量问题非等价转化而失分 [例4] 已知函数f(x)＝exsin x－cos x，g(x)＝xcos x－ex，其中e是自然对数的底数． (1)判断函数y＝f(x)在内零点的个数，并说明理由； (2)?x1∈，?x2∈，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围． [解] (1)函数y＝f(x)在内零点的个数为1，理由如下： f′(x)＝exsin x＋excos x＋sin x， 当00，则函数y＝f(x)在上单调递增，f(0)＝－1<0，f＝e>0，f(0)·f<0. 由零点存在性定理，可知函数y＝f(x)在内零点的个数为1. (2)因为不等式f(x1)＋g(x2)≥m等价于f(x1)≥m－g(x2)， 所以?x1∈，?x2∈，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，等价于f(x)min≥[m－g(x)]min＝m－g(x)max. 由(1)知，f(x)最小值为f(0)＝－1. 又g′(x)＝cos x－xsin x－ex， 当x∈时，0≤cos x≤1，xsin x≥0，ex≥ ， 所以g′(x)<0. 故g(x)在区间上单调递减， 当x＝0时，g(x)取得最大值－. 所以－1≥m－(－)， 所以m≤－－1， 故实数m的取值范围是(－∞，－1－ ]． [微评] (1)本题第(2)问是 ... ...
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