2019年高三二轮复习数学浙江专版 专题一 第四讲 大题考法——三角函数、解三角形

第四讲 大题考法———三角函数、解三角形 题型(一) 三角函数的图象与性质 主要考查三角函数的对称性、周期性、单调性、最值问题等.常结合三角恒等变换与图象变换考查. [典例感悟] [典例1]　(2018·台州质量评估)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且函数f(x)的图象上的一条对称轴为x＝. (1)求ω和φ的值； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的单调递减区间． [解]　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 所以T＝＝π，所以ω＝2. 由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋－，k∈Z， 由＝＋－，得φ＝kπ＋，k∈Z， 又|φ|≤，所以φ＝. (2)函数g(x)＝f(x)＋f＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝sin. 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z. [备课札记]　 　 [方法技巧] 求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质． 有关常用结论与技巧： (1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω<0，则最好用诱导公式将其转化为－ω>0后再去求解，否则极易出错． (2)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点： ①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点； ②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期； ③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期． [演练冲关] 1．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x ＝－2＝－2sin， 故f＝－2sin＝－2sin ＝2. (2)由(1)知f(x)＝－2sin. 则f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 2．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋c(ω>0，x∈R，c为常数)的图象经过点，且相邻两个最低点的距离为π. (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0，π]的最大值与最小值． 解：(1)∵f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋c＝sin＋c，且相邻两个最低点的距离为π，∴ω＝2， 又函数f(x)的图象经过点， ∴sin＋c＝，∴c＝， ∴f(x)＝sin＋. (2)∵函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， ∴g(x)＝sin＋＝sin＋， ∵x∈[0，π]， ∴2x－∈， ∴sin∈， ∴g(x)的最大值为1＋，最小值为0. 题型(二) 三角形基本量的求解问题 主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小?或三角函数值?，且常与三角恒等变换综合考查. [典例感悟] [典例2]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A＋cos A＝1－sin . (1)求sin A的值； (2)若c2－a2＝2b，且sin B＝3cos C，求b. [解]　(1)由已知，得2sin cos ＋1－2sin2 ＝1－sin ，即sin ·＝0， 在△ABC中，sin ≠0， 所以2sin －2cos －1＝0， 即sin －cos ＝， 则sin2 －2sin cos ＋cos2 ＝， 从而sin A＝. (2)由已知sin B＝3cos C， 结合(1)得sin B＝4cos Csin A. 法一：利用正弦定理和余弦定理得 b＝×a，即b2＝2(c2－a2)． 又c2－a2＝2b，∴b2＝4b，在△ABC中，b≠0，∴b＝4. 法二：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，且c2－a2＝2b， ∴2b＝b2－2abcos C， 在△ABC中，b≠0，∴b＝2＋2aco ... ...