5．2 正弦函数的性质 预习课本P28～30，思考并完成以下问题 1．正弦函数取得最大值时x的值是什么？ 2．正弦函数的单调区间是什么？ 3．怎样判断正弦函数是奇函数？ 正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1,1] 周期性 最小正周期为2π 最值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 单调性 在每一个闭区间上是增加的，在 上是减少的，k∈Z 奇偶性 奇函数 [点睛] (1)利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便． (2)单调区间(k∈Z)表示的是一个个区间，即…，，，…，而不表示成…∪∪∪….要特别与集合表示区别开来． 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝2－sin x的最小正周期为2π( ) (2)函数y＝cos为奇函数( ) (3)当且仅当x＝－时，y＝3－sin x取最大值( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．函数y＝sin x的一条对称轴是( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝0 D．x＝π 解析：选A 由图像知正弦函数的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)． 3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( ) A. B. C. D. 解析：选C 通过观察y＝|sin x|的图像可得． 4．函数y＝1－2sin x的最大值为_____． 解析：当且仅当sin x＝－1时，ymax＝3. 答案：3 正弦函数的定义域、值域问题 [典例] (1)求函数y＝的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y＝－2sin x＋1；②y＝； ③y＝－2sin2x＋5sin x－2. [解] (1)要使函数有意义，只需2sin x＋≥0，即sin x≥－.如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤. 所以该函数的定义域是，k∈Z. (2)①[直接法] ∵－1≤sin x≤1，∴－2≤－2sin x≤2. －1≤－2sin x＋1≤3，即－1≤y≤3， ∴值域为[－1,3]． ②[反解法] 原式可化为ysin x＋2y＝sin x， ∴sin x·(y－1)＝－2y，∴sin x＝， ∵－1≤sin x≤1， ∴－1≤≤1.解得－1≤y≤， 故函数y＝的值域为. ③[换元法] y＝－2sin2x＋5sin x－2 ＝－22＋. ∵－1≤sin x≤1， ∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9， ymax＝－2×12＋5×1－2＝1. 故函数y＝－2sin2x＋5sin x－2的值域是[－9,1]． (1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像． (2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法． [活学活用] 1．函数f(x)＝ln(1－sin x)的定义域为_____． 解析：要使函数有意义只需1－sin x＞0， 即sin x＜. 在区间上，适合条件的x的取值范围是＜x＜. 所以该函数的定义域为. 答案： 2．函数y＝2sin的最大值为_____，最小值为_____． 解析：∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤， ∴0≤sin≤1. ∴当sin＝1时，ymax＝2； 当sin＝0时，ymin＝0. 答案：2 0 3．求下列函数的值域． (1)y＝sin2x－sin x； (2)y＝|sin x|＋sin x. 解：(1)y＝sin2x－sin x＝2－. ∵－1≤sin x≤1， ∴当sin x＝时，y取最小值为－； 当sin x＝－1时，y取最大值为2. ∴y＝sin2x－sin x的值域为. (2)当sin x≥0时，|sin x|＝sin x； 当sin x＜0时，|sin x|＝－sin x， ∴原式可化为y＝ 由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2， ∴函数y＝|sin x|＋sin x的值域是[0,2]. 正弦函数的周期性与奇偶性问题 [典例] (1)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝xsin(π＋x)； ②f(x)＝. (2)求下列函数的最小正周期． ①f(x)＝sin 2x； ②f(x)＝|sin x|. [解] (1)①f(x)＝－xsin x，定义域为R. ∵f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． ②由2sin x－1≥0，得sin x≥， ∴x∈(k∈Z)． ∴函数f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)为非奇非偶函数． (2)①∵s ... ...
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