知识整合与阶段检测 /[对应学生用书P46] / /[对应学生用书P46] / 归纳———猜想———证明 不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳———猜想———证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． [例1] 设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，… (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式． (2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②＋＋…＋≤. [解] (1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3； 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4； 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1 ≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1 ≥k＋3＝(k＋1)＋2， 也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2. ②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有 ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1 ＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1 ≥23ak－3＋22＋2＋1≥… ∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1 ＝2k－1(a1＋1)－1， 于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2. ∴＋＋…＋ ≤＋ ＝ ＝·<≤＝. 因此，原不等式成立. / 利用数学归纳法证明不等式的常用技巧 在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧． 1．分析综合法 用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法． [例2] 求证： ＋＋…＋<，n∈N＋. [证明] (1)当n＝1时，因为＝<1，所以原不等式成立． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有＋＋…＋<， 当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋<＋. 因此，欲证明当n＝k＋1时，原不等式成立， 只需证明＋<成立． 即证明－>. 从而转化为证明>， 也就是证明>＋， 即()2－(＋)2 ＝k2＋k＋1－2 ＝[－1]2>0， 从而>＋. 于是当n＝k＋1时，原不等式也成立． 由(1)、(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立． 2．放缩法 涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法． [例3] 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立． [证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝， 右边＝. ∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立， 即·…·>. 则当n＝k＋1时， ·…· >·＝＝ >＝＝. ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立． 3．递推法 用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡． [例4] 设0
1，又a1＝1＋a<，显然命题成立． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即1(1－a)＋a＝1， 同时，ak＋1＝＋a<1＋a＝<， 当n＝k＋1时，命题也成立． 即1