2019年数学浙江学考新一线同步（讲义+课件+专题跟踪检测）：第二部分 学考第23题(二) 数列综合问题

学考第23题(二)数列综合问题 1．求解数列问题的一般思路 (1)转化：利用Sn满足的已知条件及an＝写出当n≥2时an的表达式． (2)求通项：根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时{an}的通项公式进行检验，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式． (3)求和：观察数列通项的特征，常利用公式法、累加法、累乘法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等进行求解． (4)得结论：根据所求结果得到结论． 2．数列求和形式多，“见招拆招”是关键 (1)如果给出的求和是等差(等比)数列的单一形式，或代数和{an＋bn}的形式，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则只需直接利用等差(等比)数列的求和公式分别求和即可． (2)如果给出的求和式中，与首末两项等距离的两项之和为常数，则应采用倒序相加法求和． (3)如果数列的通项能够拆成两项的差，且通过累加能够抵消中间的许多项，则应采用裂项相消法求和． (4)如果数列的通项是{anbn}的形式，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可利用错位相减法求和．若等比数列{bn}中含有参数，则需要对公比q分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这一点极易遗漏． 等差数列及其求和 [典例1]　(本题满分10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝20. (1)若S4＝50，求an及Sn； (2)若S10＝S15，试求Sn的最大值，并求此时n的值． [解题思路] 第一步：设等差数列的公差为d，利用S4＝50及等差数列的前n项和公式，求得d，写出通项an及其前n项和Sn； 第二步：根据等差数列的前n项和公式及S10＝S15，求得公差d，然后结合二次函数的特点，求得Sn的最大值，以及此时n的值． [规范解答] 解：设该等差数列的公差为d. (1)因为S4＝50，所以S4＝4a1＋d＝80＋6d＝50，解得d＝－5.(2分) 所以an＝a1＋(n－1)d＝20－5(n－1)＝25－5n， Sn＝na1＋d＝20n－n(n－1)＝－n2＋n.(5分) (2)因为S10＝S15，所以10a1＋45d＝15a1＋105d， 即60d＝－100，解得d＝－.(7分) 所以Sn＝20n－n(n－1)＝－2＋.(8分) 所以当n＝12或13时，max＝130.(10分) [名师点拨] 1．等差数列的通项公式及前n项和公式要注意利用首项及公差进行表示，若已知等差数列的通项公式，也可以结合通项公式写出前n项和公式． 2．巧妙利用“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一等差数列的性质，可以简化计算． 3．求等差数列前n项和的最值，常用的方法有： (1)利用等差数列的单调性，求其正负转折项，然后求最值； (2)利用性质求出其正负转折项，然后求最值； (3)将前n项和展开后看作二次函数，利用二次函数的性质进行求解最值． [变式训练] 1．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{an}的前k项和为Sk＝－35，求k的值． 解：(1)因为a1＝1，a3＝－3， 所以公差d＝＝－2. 所以an＝1－2(n－1)＝3－2n. (2)由(1)得Sn＝＝n(2－n)． 所以Sk＝k(2－k)＝－35， 解得k＝7或k＝－5. 因为k∈N*，所以k＝7. 等比数列及其求和 [典例2]　(本题满分10分)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)设Sn为等比数列{an}的前n项和，证明：Sn＝； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式bn. [解题思路] 第一步：利用等比数列的首项与公比，写出通项公式与前n项和公式； 第二步：根据结论，对比，证明结论成立； 第三步：化简log3an； 第四步：求和，计算bn. [规范解答] 解：(1)证明：因为a1＝，q＝， 所以an＝n.(2分) Sn＝＝，(4分) 所以Sn＝.(5分) (2)因为an＝n，所以log3an＝log3n＝－n，(7分) 所以bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－1－2－3－…－n＝－.(10分) [名师点拨] 1．解决等比数列基本运算问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程． 2．求等比数列的通项公式及前n项和公式 ... ...