回扣验收特训（二） 直接证明与间接证明 （部分） 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B. 2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C. 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.故选D. 4．用反证法证明命题“已知a，b，c∈(0,2)，求证a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( ) A．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都小于1 B．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1 C．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都不大于1 D．以上都不对 解析：选B 反设是否定结论，原命题的结论是不都大于1，所以否定是都大于1.故选B. 5．设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2； ⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( ) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 解析：选C 若a＝，b＝，则a＋b>1， 但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a＋b≤2与a＋b>2矛盾， 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1. 6．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b大小关系不定 解析：选B 假设a≥b，即－≥ －， ∴＋≥2， 平方得2c＋2≥4c， 2c≤2，c≤，即c2≤c2－1， 0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a＜b. 7．已知函数f(x)＝x，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为_____． 解析：由≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C. 答案：A≤B≤C 8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于_____． 解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(2k＋2)；当n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k，其差为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2. 答案：3k＋2 9．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为_____． 解析：由题知直线经过圆心(2,1)，则a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋≥3＋2. 答案：3＋2 10．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0. 证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 则a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾， 因此a，b，c中至少有一个大于0. 11．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－a＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立． 解：(1)∵a－a＝2， ∴数列{a}为首项为1，公差为2的等差数列， ∴a＝1＋(n－1)·2＝2n－1， 又an>0，则an＝. (2)证明：由(1)知，即证1＋＋…＋≤. ①当n＝1时，左边＝1，右边 ... ...
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