2．3幂函数 幂函数的概念 试写出下列问题所反映的函数关系式． (1)张华去商店买笔记本，1元一本，共买了x本，支付y元．写出支付钱数与本数的函数关系式； (2)制作一个正方形的画板，边长为x cm，面积为y cm2，y是x的函数应如何表达？ (3)小明家里要修一个正方体形状的水箱，边长为x米，存水量为 y 立方米，y是x的函数应如何表达？ (4)对于(2)，我们如果看成边长x是面积y的函数，应如何表达？ (5)如果y与x成反比，比例系数为1，y是x的函数应如何表达？ 以上问题中的函数具有什么共同特征？ 幂函数的定义 当x为自变量而a为非0实数时，函数y＝xa叫作(a次的)幂函数． 下列函数中不是幂函数的是_____． ①y＝－x2 ②y＝2x ③y＝xπ ④y＝(x－1)3 ⑤y＝x ⑥y＝x2＋ ⑦y＝x3＋3 ⑧y＝3x3 [提示] ①②④⑥⑦⑧ 幂函数的图象与性质 在同一坐标系中，分别作出幂函数y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝x－1，y＝x，y＝x－2在第一象限的图象．根据图象分析幂函数在区间[0，＋∞)上的性质． 幂函数的性质 (1)当a>0时，幂函数y＝xa在区间[0，＋∞)上有如下性质： ① 都经过两个点(0,0)和(1,1)，即0a＝0,1a＝1 ② 是递增函数 ③ 图象与直线y＝x有如下关系： 0
1 a>1 在下方 在上方 00 时，必有y>0，所以幂函数不会过第四象限． 2．观察上述幂函数的图象，你能发现幂函数在第一象限内指数的变化规律吗？ [提示] 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，反之亦然；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小，反之亦然． 幂函数概念的理解应用 [例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [思路点拨] 首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解． [解] 根据幂函数定义得 m2－m－1＝1, 解得m＝2 或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数， 不合要求．故f(x)＝x3. 借题发挥 幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根. 1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)x为幂函数且是奇函数，则实数m的值是_____． 解析：∵f(x)为幂函数．∴2m2＋m＝1， 得m＝或m＝－1. 当m＝时，f(x)＝x＝， 定义域为x>0，显然不具有奇偶性； 当m＝－1时，f(x)＝x－1＝，是奇函数． 答案：－1 幂函数性质的应用 [例2] 比较下列各组数的大小． (1)0.5，0.5； (2)1.2，1.4，1.42. [思路点拨] (1)借助幂函数的性质比较；(2)借助幂函数和指数函数的性质比较． [解] (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>， ∴0.5>0.5. (2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4， ∴1.2<1.4. 又∵y＝1.4x为增函数，且<2，∴1.4<1.42， ∴1.2<1.4<1.42. 借题发挥 (1)比较大小通常利用函数的单调性，不能直接借助函数的单调性的可插入中间量进行比较. (2)幂函数有如下性质： ①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有意义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限． ②当α>0时，幂函数的图象都通过点(0,0)、(1,1)；并且在[0，＋∞)上都是增函数．当α<0时，幂函数的图象都通过点(1,1)；在(0，＋∞)上都是减函数，在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 2．比较下 ... ... 
