2．4函数与方程 2．4.1 方程的根与函数的零点 实系数一元二次方程的根 给定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)，它的判别式是Δ＝b2－4ac， (1)当Δ<0时，方程无实数根 (2)当Δ＝0时，方程有两个重根 (3)当Δ>0时，方程有两个不等实根 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数为_____． [提示] 2 2．若方程x2＋ax＋b＝0的两个实根分别为－1和6，则a、b的值分别为_____． [提示] －5，－6 函数的零点 1．解方程x2－x－2＝0. 2．作出函数f(x)＝x2－x－2的图象，观察该函数的图象与x轴交点的横坐标与方程x2－x－2＝0的解之间的关系． 方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点． 1．函数的“零点”是一个点吗？ [提示] 不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是2，则a＝_____. [提示] 由f(2)＝0，得a＝－1. 二次函数零点的分布 [例1] 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根分别在区间(2,3)和(3,4)之间，求m的取值范围． [思路点拨] 函数的零点即为方程f(x)＝0的根，即x1∈(2,3)，x2∈(3,4)，结合根与系数的关系可解得m的取值范围． [解] 设f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m. 由图中f(x)图象与x轴的交点在区间(2,3)和(3,4)之间． ∴ 即 解得－. 设A＝， 则?RA＝， 即满足题意的实数a的取值范围是. 函数的零点 [例2] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x. [解] (1)令＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝的零点是x＝－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23. 所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3. 借题发挥 函数零点的求法 求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点. 2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( ) A.，0 B．－2,0 C. D．0 解析：选D 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0. 3．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是( ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选A 根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A. 函数零点个数的判定 [例3] 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－4x－5；(2)f(x)＝x2－. [思路点拨] 可通过解方程或画图象来判断零点的个数． [解] (1)由f(x)＝0，即x2－4x－5＝0得 Δ＝(－4)2－4×(－5)＝36>0， ∴方程x2－4x－5＝0有两个不相等的实根． 函数f(x)有两个零点，分别是－1,5. (2)法一：由x2－＝0，得x2＝. 令h(x)＝x2(x≠0)， g ... ...
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