2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.5.1 向量的数量积

4．5.1　向量的数量积 数量积的定义 1．数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉称为a与b的数量积． 2．a在b上的投影值 (1)a在b上的投影值(a)b＝a·b°＝a·b. (2)特别当b是单位向量时，有(a)b＝a·b. 判断下列各题是否正确． (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (4)若a·b＝0，则a⊥b.(　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 数量积的运算律 数量积满足如下的运算律： (1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立． (2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，对任意向量a，b和实数λ成立； (3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立． 1．对于不共线向量a，b，c，判断(a·b)c＝a(b·c)是否成立？ [提示]　不一定成立．因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故不成立． 2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2对吗？ [提示]　正确． 3．(a＋b)(a－b)＝a2－b2对吗？ [提示]　正确． 求平面向量的数量积 [例1]　已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)a·b；　 (2)(a＋b)2； (3)a2－b2；　(4)(a－2b)(a＋b)． [思路点拨]利用数量积的定义及运算律可求． [边听边记]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×＝－4. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝16－8＋4＝12. (3)a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－4＝12. (4)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2 ＝a2－a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2 ＝16＋4－8＝12. 借题 发挥 此类问题要充分利用有关的运算法则转化成求数量积及模的问题，特别注意a2＝|a|2及整体代入. 1．已知平面上三点A，B，C满足||＝2，||＝1，||＝，求·＋·＋·的值． 解：∵||＝2，||＝1，||＝， ∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°，sin∠ABC＝，sin∠BAC＝， ∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°， ∴与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°， ∴·＋·＋· ＝2×1×cos 120°＋1××cos 90°＋×2×cos 150° ＝－4. [例2]　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求 a与b的数量积． [思路点拨]　利用数量积的定义求解． [边听边记]　(1)a∥b时，有两种情况． 若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|＝20； 若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a|·|b|＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0. (3)当a与b夹角为135°时，a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－10.　 借 题 发 挥 求平面向量数量积的步骤是： 求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； ②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. 2.已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)与的夹角为120°. ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则a·b＝(　　) A．－6　　　　　　　　 　B．6 C．－6 D．6 解析：a·b＝3×4×cos 120°＝3×4×＝－6. 答案：A 2．已知向量a，b，且a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为(　　) A.  　B．－ C．± D．1 解析：将(3a＋2b)(ka－b)＝0展开，得12k－18＝0.∴k＝. 答案：A 3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　) A．－5 　B．5 C．－5 D．5 解析：投影10·cos 150°＝－5. 答案：A 4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝_____，·＝_____，·＝_____. 解析：由题意，得||＝4，||＝4 ... ...