2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第6章 6.2.1 直接证明：分析法与综合法

6．2直接证明与间接证明 6．2.1　直接证明：分析法与综合法 [读教材·填要点] 综合法和分析法 综合法 分析法 定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法 从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法 特点 从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件 从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件 [小问题·大思维] 1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． 2．综合法与分析法有什么区别？ 提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件． 综合法的应用 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. [自主解答]　法一：∵a，b∈R＋且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立． ∴≤. ∴＋＝＝≥4. 法二：∵a，b∈R＋， ∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，当且仅当a＝b时等号成立． ∴(a＋b)≥4. 又∵a＋b＝1，∴＋≥4. 法三：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1， ∴＋＝＋ ＝1＋＋＋1≥2＋2＝4. 当且仅当a＝b时，取“＝”号． 保持例题条件不变，求证：＋≥9. 证明：法一：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1. ∴＋＝＋＝4＋＋＋1 ≥5＋2＝5＋4＝9. 当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立． 法二：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1. ∴＋＝(a＋b)·＝4＋＋＋1 ≥5＋2＝5＋4＝9. 当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立． 综合法证明问题的步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． 1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B. 证明：∵a2＝b(b＋c)， ∴cos A＝＝＝， cos 2B＝2cos2B－1＝22－1 ＝22－1＝＝， ∴cos A＝cos 2B. 又A，B是三角形的内角，∴A＝2B. 分析法的应用 当a＋b>0时，求证： ≥(a＋b)． [自主解答]　要证 ≥(a＋b)， 只需证()2≥2， 即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab. 因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， 所以≥(a＋b)成立． 综上所述，不等式得证． 分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可． (2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论 成立． 2．已知a>6，求证：－<－. 证明：法一：要证－<－， 只需证＋<＋ ?(＋)2<(＋)2 ?2a－9＋2<2a－9＋2 ?< ?(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4) ?18<20. 因为18<20显然成立， 所以原不等式－<－成立． 法二：要证－<－， 只需证<， 只需证＋>＋. ∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5，∴>， 同理有>， 则＋>＋. ∴－<－. 综合法与分析法的综合应用 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [自主解答]　法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1 ＝3(a＋b＋c)－1， 只需证＋＝， 即证＋＝3， 化简，得＋＝1， 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)． 所以只需证c2＋a2＝b2＋ac. 因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°， 所以cos B＝＝. 所以a2＋c2－b2＝ac，所以原式成立． 法二：因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°. 由余弦定理， 有b2＝c2＋a2－2accos 60°， 所以c2＋ ... ...