4．1导数概念 [读教材·填要点] 1．物体在任意时刻的瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋于0时的极限． 2．函数y＝f(x)的曲线上任一点处的切线斜率 函数y＝f(x)的曲线上任一点P(u，f(u))处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u))，Q(u＋d，f(u＋d))两点割线PQ的斜率k(u，d)＝在d趋于0时的极限． 3．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数： 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)，简述为：→f′(x0)(d→0)． (2)导函数： 当x0为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数，若f′(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)，类似地，可以定义三阶导数f?(x)等等． [小问题·大思维] 1．若函数f(x)在[x1，x2]内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？ 提示：不能说明．理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的差商为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增． 2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)，f′(x2)和f′(x3)的大小吗？ 提示：根据导数的几何意义， 因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB， 在C处的切线斜率小于零， 所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)． 3．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？ 提示：f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关． 求函数在某一点处的导数 求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． [自主解答] 法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3) ＝12d＋2d2＋4d ＝2d2＋16d， ∴＝＝2d＋16. ∴d→0时，f′(3)＝16. 法二：＝ ＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)， 即f′(x)＝4x＋4， ∴f′(3)＝4×3＋4＝16. 在本例中，若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值． 解：根据导数的定义， ＝ ＝ ＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)， ∴f′(x)＝4x＋4. 令f′(x0)＝4x0＋4＝8， 解得x0＝1. 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的差分f(x0＋d)－f(x0)； (2)求差商； (3)取极限，d→0得导数f′(x0)． 1．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数． 解：f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)－－＝d＋， ＝＝1＋， ∴d→0时，f′(1)＝1＋1＝2. 求瞬时速度 一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． [自主解答] 根据导数的定义， ＝＝3， ∴f′(2)＝3. f′(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 求瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)； (2)求时间改变量d，位移改变量Δs＝s(t0＋d)－s(t0)； (3)求平均速度； (4)求瞬时速度，v＝li . 2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)． 解：设这辆车在t＝2附近的时间步长为d， 则位移的差分[2(2＋d)2＋3]－(2×22＋3)＝8d＋2d2， 差商＝8＋2d→f′(2)＝8(d→0)． 所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s. 确定或应用曲线的切线方程 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线 方程． [自主解答] 设P点坐标为(x0，y0 ... ...
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