1．1命题及其关系 1．1.1 命题的概念和例子 [读教材·填要点] 1．命题的概念 可以判断成立或不成立的语句叫作命题． 2．命题的分类 (1)真命题：成立的命题叫作真命题． (2)假命题：不成立的命题叫作假命题． (3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想． [小问题·大思维] 1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？ 提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立． 2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？ 提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题． 命题的概念 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)求证π是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0； (3)一个数的算术平方根一定是负数； (4)梯形是不是平面图形呢？ [自主解答] (1)是祈使句，不是命题； (2)可以判断其是否成立，故为命题； (3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数； (4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． 判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是． 1．判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形； (2)空集是任何非空集合的真子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x>3. 解：(1)能判断其是否成立，是命题； (2)能判断其是否成立，是命题； (3)是疑问句，不是命题； (4)不能判断其是否成立，不是命题． 真假命题的判断 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数． [自主解答] (1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题． (2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形． (4)是真命题， 令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数， 故ab是奇数． 若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假． 解：当a＝，b＝－时，a，b都是无理数，但 ×(－)＝－5是有理数，故该命题为假命题． 判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可． 2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a＋b的数是无理数； (2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除． 解：(1)假命题，反例：a是有理数且b＝0，则a＋b是有理数． (2)假命题．若数列{an}为等比数列，且a1＝－1，q＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除． 命题的综合问题 试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件． [自主解答] 方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－； 当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0. 综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解． (1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是 ... ...
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