3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量 [读教材·填要点] 1．射影 (1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影． (2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 3．平面的法向量 与平面α垂直的非零向量称为α的法向量． [小问题·大思维] 1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？ 提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的． 2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？ 提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， (1,1,1)·(1，－1，0)＝0， 而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α. 利用判定定理用向量法证明线面垂直 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC. [自主解答] 设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)． ＝(－1，－1,1)，＝(0,2，2)，＝(－2,2,0)． ∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， ·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面B1AC. 利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直． 1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1，AB＝2AD，点E是线段C1D1的中点，求证：DE⊥平面EBC. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝1，则AA1＝1，AB＝2，则可得D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)， ＝(0,1,1)，＝(1,1，－1)， ＝(0,1，－1)， 因为·＝1－1＝0， ·＝1－1＝0， 所以DE⊥EB，DE⊥EC， 又EB∩EC＝E，所以DE⊥平面EBC. 求平面的法向量 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF的法向量． [自主解答] 以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则G，E，F， ∴＝， ＝. 设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则 即 令y＝z＝1，则x＝1， ∴平面GEF的一个法向量为(1,1,1)． 本例条件不变，求平面A1EFC1的法向量． 解：A1(a,0，a)，E，F， ∴＝，＝. 设平面A1EFC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令y＝2，z＝1，则x＝2. ∴平面A1EFC1的一个法向量为(2,2,1)． 求平面法向量的一般步骤为： (1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量． 2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量． 解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)， 由题设得： 即解得 取y＝1，则x＝2. 故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)． 利用法向量证明线面垂直 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系． [自主解答] 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 ... ...
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