2．1椭__圆 2．1.1 椭圆的定义与标准方程 [读教材·填要点] 1．椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [小问题·大思维] 1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的定值，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆x2＋＝1的焦点坐标是什么？ 提示：∵x2＋＝1， ∴a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，∴c＝1. ∴焦点坐标为(0，±1)． 椭圆的定义 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长． [自主解答] 如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a. 椭圆上的点到两定点F1，F2的距离的和为定值，所以知道椭圆上点到一个焦点的距离就可以利用|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|求出该点到另一个焦点的距离． 1．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，求线段ON的长． 解：由椭圆方程＋＝1，得a＝5. 设椭圆的另一个焦点为F′， 则|MF|＋|MF′|＝10，∴|MF′|＝10－|MF|＝8. ∵N为MF的中点，O为FF′的中点， ∴ON＝|MF′|＝4. 求椭圆的标准方程(已知焦点位置) 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到离它较近的一个焦点的距离等于2. [自主解答] (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∴2a＝＋＝10. ∴a＝5. 又∵c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵P(0，－10)在椭圆上， ∴a＝10. 又∵P到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2， 故c＝8. ∴b2＝a2－c2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是＋＝1. 求椭圆标准方程的一般步骤为： 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a＝5，c＝2，焦点在y轴上； (2)经过定点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点． 解：(1)∵a＝5，c＝2，∴b2＝a2－c2＝25－4＝21. 又∵椭圆的焦点在y轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由9x2＋4y2＝36，得＋＝1. ∴椭圆的焦点坐标为(0，±)． 设椭圆标准方程为＋＝1， ∴＋＝1.又a2－b2＝5.∴a2＝15，b2＝10. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 求椭圆的标准方程(焦点位置不确定) 求经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 在求椭圆的标准方程时，若椭圆焦点的位置未确定，可分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B. 3．若椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)，求椭圆的标准方程． 解：①若椭圆的焦点在x轴上， 设其方程为＋＝1(a＞b＞0)， ∵c＝1， ∴解得 ∴椭圆方程为＋＝1. ... ...
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