2.2双__曲__线 2．2.1 双曲线的定义与标准方程 [读教材·填要点] 1．双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [小问题·大思维] 1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F1F2|？若定值等于|F1F2|或等于0或大于|F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？ 提示：(1)如果定义中定值改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)． (2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． (3)如果定义中定值改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． 2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？ 提示：不是．是双曲线的一支． 3．若方程－＝1表示双曲线，m，n应满足什么条件？ 提示：若方程－＝1表示双曲线，则m·n>0. 双曲线定义的应用 在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线． [自主解答] 如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理得sin A＝， sin B＝，sin C＝. ∵sin B－sin A＝sin C， ∴b－a＝. 从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支． ∵a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)． 故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)． 解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件： (1)差的绝对值是定值， (2)常数大于0小于两定点间的距离． 同时具备这两个条件才是双曲线． 1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积． 解：因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 求双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上； (2)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴－＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是－y2＝1. (2)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线过P，Q， ∴解得 ∴所求双曲线方程为－＝1. 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)当焦点在x轴上时， 设所求标准方程为－＝1(b>0)， 把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意； 当焦点在y轴上时， 设所求标准方程为－＝1(b>0)， 把A点的坐标代入，得b2＝9， ∴所求双曲线的标准方程 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
