第二课时 直线与双曲线的位置关系 [读教材·填要点] 1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 2．弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|. [小问题·大思维] 1．当直线与双曲线只有一个公共点时，直线一定与双曲线相切吗？ 提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2．当直线的斜率不存在或斜率k＝0时，如何求弦长？ 提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长． 直线与双曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [自主解答] 由消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*) 当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)即－＜k＜，且k≠±1时， 方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，(1)当k∈∪(－1,1)∪时，直线与双曲线有两个公共点． (2)当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)当k∈∪时，直线与双曲线没有公共点． 若将“y＝k(x－1)”改为“y＝k(x－3)”，试解决(2)(3)两个问题？ 解：∵直线y＝k(x－3)过定点(3,0)，且定点(3,0)在双曲线x2－y2＝4的内部． ∴当k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当直线l与双曲线没有公共点时，k不存在，即k∈?. 解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系． 1．已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程． 解：可分两种情况： ①直线l斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意，此时直线l为x＝1. ②直线l斜率存在时，设l方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程得 (4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0，即k＝±2，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个公共点．直线l为y＝2x－1或y＝－2x＋3. 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝， 直线l为y＝x－. 综上，直线l的方程为x＝1或y＝2x－1或y＝－2x＋3或y＝x－. 弦长及中点弦问题 已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点．若P为AB的中点， (1)求直线AB的方程； (2)求弦AB的长． [自主解答] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入双曲线方程3x2－y2＝3，得 3x－y＝3,3x－y＝3， 两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即·＝3， 所以直线AB的斜率 ... ...
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