第十五讲 正方形性质与判定培优辅导 知识梳理 1、正方形的定义： 叫做正方形。 2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： ． ② 角的性质： ． ③ 对角线性质： ． ④ 对称性：正方形是 图形，也是 图形． 3、正方形的判定 判定① 是正方形． 判定② 是正方形． 判定③ 是正方形． 二、经典例题<正方形形的性质> 【例1】如图，为正方形对角线上一点，于，于. PA与EF有怎样的关系？ 请说明理由． 【变式题组】 如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG．观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的猜想的结论． 【例2】如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB． 【变式题组】如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． (1)求证：OE＝OF； (2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 图① 图② <正方形的判定> 【例3】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD是菱形； ⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形． 【变式题组】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F． （1）探究线段OE与OF的数量关系并证明； ⑵当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ ⑶当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； 三、正方形最值问题 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为? ． 2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ． 3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ． 【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。 （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 四、【综合提升】【例5】数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF． 在此基础上，同学们进一步的研究： ⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【例5】探究问题：（1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ ... ...
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