2019年高一高二数学同步学案人教A版选修4-5 第一讲 一 不等式 第2课时 基本不等式（课件+讲义）

第2课时　基本不等式 [核心必知] 1．定理1　 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．定理2(基本不等式) 如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 3．算术平均与几何平均 如果a，b都是正数，我们就称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均． 4．利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， (1)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值； (2)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值． [问题思考] 1．在基本不等式≥中，为什么要求a，b∈(0，＋∞)? 提示：对于不等式≥，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b∈(0，＋∞)． 2．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？ 提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值． 考点1 利用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c为正实数， 求证：(1)≥8； (2)a＋b＋c≥＋＋. [精讲详析]　本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可． (1)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2＞0， b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0， 由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥ 8··＝8abc.即≥8. (2)∵a，b，c为正实数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2， c＋a≥2，由上面三式相加可得 (a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2. 即a＋b＋c≥＋＋. ——— (1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的 结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明． (2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚． ——— 1．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac. 证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，① 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.② 在不等式①两边同时加上a2＋b2＋c2，得 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2. ∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③ 在不等式②两边同时加上2ab＋2bc＋2ac，得 (a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)． ∴(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.④ 由③④，得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac. 考点2 利用基本不等式求最值 　 　已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． [精讲详析]　本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值． ∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. 当且仅当＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. ——— 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配． (1)拆———裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离———分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． (2)并———分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． (3)配———配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积 ... ...