一、选择题 1．已知a，b，∈R＋，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为( ) A．5 B．10 C．20 D．30 解析：选C 根据柯西不等式有(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100. ∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号． 2．已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( ) A．3 B．3 C．18 D．9 解析：选B 由柯西不等式，得(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1) ＝3[3(a＋b＋c)＋3]． ∵a＋b＋c＝1， ∴(＋＋)2≤3×6＝18， ∴＋＋≤3， 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 3．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是( ) A. B. C．6 D．3 解析：选B ∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1， ∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立． 4．若2a>b>0，则a＋ 的最小值为( ) A．1 B．3 C．8 D．12 解析：选B ∵2a>b>0，∴2a－b>0. ∴a＋＝ ≥·3 ＝3. 当且仅当2a－b＝b＝， 即a＝b＝2时等号成立． ∴当a＝b＝2时，a＋ 有最小值3. 二、填空题 5．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是_____． 解析：(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2]· ≥2 ＝(2＋3＋6)2＝121. 当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立． 答案：121 6．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为_____． 解析：由柯西不等式，得(＋＋)2 ＝(1×＋1×＋1×)2 ≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3) ＝3(2×6＋4)＝48. 当且仅当＝＝， 即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立． 又a＋b＋c＝6， ∴当a＝，b＝，c＝时， ＋＋取得最大值4. 答案：4 7．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为_____． 解析：(22＋22＋12)[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2] ≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2 ＝(2x＋2y＋z－1)2＝81， ∴(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥9. 当且仅当＝＝时，取等号． 答案：9 8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为_____． 解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12. 答案：12 三、解答题 9．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，求的值． 解：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36， 当且仅当＝＝＝k时取“＝”． 所以k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝. 所以＝k＝. 10．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9. ∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥. 当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3) 即5x－4y＋7＝0时取等号． 解方程组得 故所求点的坐标为. 11．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解：＋＋≤＋＋ ＝ ≤ ＝， 故λ的取值范围是. [核心必知] 1．三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则 (a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋ anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． [问题思考] 1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致． 2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可 ... ...
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