2020版高考数学（理科）新人教A版大一轮复习讲义：第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（含解析）（8份）

第1节　两个基本计数原理 考试要求　了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 知 识 梳 理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. [微点提醒] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. 1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. 2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) 解析　分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 解析　需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种). 答案　D 3.(选修2－3P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_____. 解析　从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9. 答案　9 4.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A.24 B.18 C.12 D.9 解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B. 答案　B 5.(2019·杭州模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　) A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 解析　每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步. 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法. 答案　D 6.(2019·菏泽六校联考)椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为_____. 解析　因为焦点在x轴上，m>n，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择.由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个. 答案　10 考点一 ... ...