重点增分提优专题十二 计数原理、概率、随机变量及其分布列 [全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2018 几何概型·T10 古典概型·T8 求二项式系数问题·T5 二项分布、导数的应用及变量的数学期望、决策性问题·T20 相互独立事件及二项分布·T8 2017 数学文化、有关面积的几何概型·T2 二项分布的方差·T13 频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19 2016 与长度有关的几何概型·T4 几何概型、随机模拟·T10 柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19 互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18 (1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题． (2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般． 保分考点·练后讲评 [大稳定] 1.(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为( ) A．10 B．20 C．40 D．80 解析：选C 5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r， 令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40. 2.(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 解析：选C (1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30. 3.在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( ) A．50 B．70 C．90 D．120 解析：选C 令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C. 4.若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于( ) A．2 B. C．1 D. 解析：选C 二项式7的展开式的通项Tr＋1＝C27－rx7－rarx－r＝27－rCarx7－2r， 令7－2r＝－3，得r＝5，所以T6＝4Ca5＝84，解得a＝1. 5.在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A．－7 B．7 C．－28 D．28 解析：选B 因为只有第5项的二项式系数C最大，所以＝4，即n＝8. 8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C8－rr＝x8－r， 令8－r＝0，解得r＝6，故常数项为T7＝＝7.故选B. 6.(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是_____． 解析：法一：(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4， 其展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2＋x)4－ryr， 因为要求x3y2的系数，所以r＝2，所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6×2＝12. 法二：(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积， 在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项， 故x3y2的系数是C·C·C＝12. 答案：12 [解题方略] 1．求二项式与代数式积的展开式特定项系数问题的关键 一是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数． 2．求(x＋y＋z)n的展开式的特定项的系数问题的技巧 若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数；把(x＋y＋z)n看作n个因式x＋y＋z的乘积，再利用组合数公式求解． 3．二项式系数最大项的确定方法 若n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；若n是奇数，则中间两项第项与第＋1项的二项式系数，最大． [小创新] 1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(4,0)＋f(3,1)＋f(2, ... ...
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