高考强化训练：37　直接证明与间接证明

直接证明与间接证明 [基础达标] 一、选择题 1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　) A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 3．在△ABC中，sinAsinC0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>2 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 5．已知p＝a＋(a>2)，q＝2 (x>0)，则(　　) A．p>q B．pa＋b，则a，b应满足的条件是_____． 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝_____. 8．[2019·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设_____． 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列． 10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋. [能力挑战] 11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0. / 直接证明与间接证明 [基础达标] 一、选择题 1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　) A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B. 答案：B 2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 答案：B 3．在△ABC中，sinAsinC0， 即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角， 从而B>，故△ABC必是钝角三角形． 答案：C 4．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>2 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 解析：因为x>0， 所以要证<1＋， 只需证()2<2， 即证0<，即证x2>0， 因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立． 答案：C 5．已知p＝a＋(a>2)，q＝2 (x>0)，则(　　) A．p>q B．pa＋b，则a，b应满足的条件是_____． 解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝_____. 解析：因为a∥b， 所以(x＋1)×(－2)＝2×4， 解得x＝－5. 答案：－5 8．[2019·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设_____． 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案：x≠－1且x≠1 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列． 证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B， 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． 10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋. 证明：证法一　(作差法)因为a，b是正实数，所以 ＋－－＝＋ ＝ ＝≥0， 所以＋≥＋. 证法二　(分析法)已知a，b是正实数， 要证＋≥＋， 只需证a＋b≥(＋)， 即证(a ... ...