自主招生试题分类汇编02导数

历年自主招生试题分类汇编———导数 7. （2014年华约）已知求证:. 【证明】原不等式等价于. 当,上述不等式左边非正,不等式成立; 当时,由及贝努力不等式, 从而,即证. 7. （2013年华约）已知 求证:(1)当,; (2)数列满足,求证:数列单调递减且. 【解】(1)当时,,所以在上递减,所以. (2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即, 即,因为,所以,即,所以数列递减, 下面证明,用数学归纳法证,设,则, 由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设 得,要证明只需证明,即, 故只需证明,考虑函数,因为当时, 所以,故在上递增,又, 所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立. 注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似. (14) （2012年华约）记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。 证明一： 用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时，此时有唯一解，且严格单调递增，而无实数解，现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0, 于是 ，所以 又因为所以由严格递增知有唯一根0， 对于有，所以（———��，）上，递减，在（，+∞）上，递增，所以 因此，无实数解 综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时无解，当ｎ为奇数有唯一解。 再证，事实上，由的严格单调性，只需验证，注意到 －＝，由上述归纳法证明过程中，，所以 ， 因此，综上所述，原命题得证。 证明二：记我们对Ｎ使用数学归纳法证明加强命题，方程在Ｎ为偶数的时候实数上恒大于零，在Ｎ为奇数的时候，在实数上严格单调递增并且可以取遍所有实数。 当N=1,2的时候，直接验证，结论显然成立。 当N=K-1的时候结论成立，那么，N=K的时候： (K是偶数的时候，，那么由归纳假设，我们知道存在一个的根，使得在的时候，在的时候，>０，所以可以看出在实数上的最小值应该在处取到，，也就是说在实数上每个取值都大于零，因此结论成立。 (Ｋ是奇数时，，，那么由归纳假设，我们知道恒成立，也就是说严格单调递增，而是一个奇数次最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当X趋近于———��的时候，也趋于———��，当X趋于+∞的时候，也趋于+∞，而连续，因此我们证明了在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用 极限的符号书写法也可以将分段说明，但写起来比较麻烦） 3、（2011年华约）曲线，过点的直线l与曲线相切，且不是切点，则直线l的斜率为 ( ) 解答：设切点为，则切线斜率为，切线方程为，将点入代得： ，整理得， ，所以这条切线的斜率为. 7．（2010年华约）设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（ B ） （A）1 （B） （C） （D） 9. （2014年卓越联盟）设在上可导,且对任意的有 (1)证明:; (2)若,则. 【解】(1)由题知单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在, 使得,于是 (2)若存在,则在上,于是有 取,则.但是由于,所以,矛盾. 同理在时也可得矛盾. 结论成立. （2013年卓越联盟）设函数在上存在导数，对任意的有，且在上．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 答案: B． （2013年卓越联盟理）设， ⑴ 证明； ⑵ 若，证明：． 答案:⑴（本小问6分） 设，，则． 令，，则． 当时，由于，所以，因此在上单调递增． 于是有，．从而可知在上单调递增，又，所以，，即，． ⑵（本小问9分） 设，，则． 令，，则 ，． 所以在上单调递减，从而， 因此在上单调递减，于是，即，． 结合⑴有，得． （11）（2012年卓越联盟）已知函数，其中是非零实数，。 （Ⅰ）求的单调区间 （Ⅱ）若，设，，，，且，，。 证明：； （Ⅲ）若有极小值，且，证明。 解答：（1）， 当时，在和上分别单 ... ...