云南省楚雄州大姚一中2019届理科数学《导数的综合应用》题型归纳及巩固

云南省楚雄州大姚一中2019届理科数学《导数的综合应用》题型归纳及巩固 一、题型归纳 题型一 含参数的分类讨论 已知函数，导函数为， （1）求函数的单调区间； （2）若在[—1，3]上的最大值和最小值。 【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，分类标准是零） 当单调递减； 当的变化如下表： + 0 — 0 + 极大值 极小值 此时，单调递增， 在单调递减； （II）由 由（I）知，单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数， 若函数在上是单调增函数，求的取值范围 【答案】 【解析】,依题意在上恒有成立， 方法1： 函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得，所以的取值范围是； 方法2： 由，得，只需，易得，因此，，所以的取值范围是； 【易错点】本题容易忽视中的等号 【思维点拨】已知函数在区间可导： 1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零； 2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零； 说明： 1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件 2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都； 3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点 1．已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】很明显 ，由题意可得： ，则由 可得 ， 由题意得不等式： ，即： ， 综上可得的取值范围是 .本题选择D选项. 【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。 【思维点拨】函数零点的求解与判断 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型四、导数证明不等式 例1 当时，证明不等式成立。 【答案】略 【解析】设则 ∵∴ ∴在内单调递减，而 ∴ 故当时，成立。 【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题 【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。 二、巩固训练 题型一 含参的分类讨论 1. 已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。 【答案】略 【解析】（I） 当且仅当时取“=”号，单调递增。 当变化时，、的变化如下表： —1 + 0 — 0 + 极大值 极小值 （II）当恒成立。 由（I）可知 若上单调递减， 上不单增，不符合题意； 综上，a的取值范围是[0，1] 2. 已知函数，求函数的极值. 【答案】略 【解析】由可知: ①当时,,函数为上的增函数,函数无极值; ②当时,由,解得; 时,,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. 3. 已知,求的单调区间。 【答案】略 【解析】函数的导数 （ⅰ）当时，若，则；若,则； ... ...