2019年高考适应性练习（二） 理科数学参考答案 一、选择题： D C A A C B B A D A C B 二、填空题： 13． 14． 15． 16． 三、解答题： 17.解：（1）， 当时，得， …………………………………………………1分 当时，， 作差得 ， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列, 所以. ……………………………………………3分 设等差数列的公差为， 由，， 所以，， 所以，， 所以. ……………………………………………6分 （2） …………8分 又因为， 所以. …………12分 18.解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以. 在中，分别为的中点，所以，且. 于是在中， ， 所以为直角三角形，且. …………………………2分 因为，,所以. ………………………3分 因为，，， ……………………4分 所以平面. 又平面，所以平面平面. ……………………5分 （2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量 所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则，，，, ,,. …………7分 设平面的一个法向量为, 则即，取,得.…………8分 设平面的法向量, 则即，取,得.…………9分 所以， …………11分 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………12分 19.解：（1）由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型. ……………………2分 令，先建立关于的线性回归方程. 由于， ……………………4分 ， ……………………6分 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的线性回归方程为. ……………………7分 （2）(i)由（1）知，当龄期为天，即时， 抗压强度的预报值. 因为，所以该批次混凝土达标. …………………………………10分 (ii)令，得. 所以估计龄期为天的混凝土试件需达到的抗压强度为. …………12分 20.解：（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为. …………2分 又离心率，又因为， 解得，，所以椭圆方程为． ………………………4分 （2）设，直线的方程为：， 将代入得： ， …………………………………………5分 于是得： ……………………………………………………6分 且， 设中点，则， 因为线段的垂直平分线的纵截距为，所以线段的垂直平分线过点， 所以，即， …………8分 因为，所以， 所以， …………10分 代入得， …………11分 所以. …………………………………………………12分 21.解：（1）的定义域为. 设，则，等价于. 因为，，所以 ………………1分 而，，得. ………………3分 若，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以是的极大值点，故. 综上，. ………………5分 （2）由（1）知，. 设，则，，令，得.当时，，单增；当时，，单减； 又因为，，，所以在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点. …………7分 于是当时，，时，，时，.因为，所以是的唯一极小值点. ………………………8分 由，得， 故， ………………9分 由（1）知. 令，，则，当时，，所以在上单调递减，. 所以，结论得证. ………………………12分 22.解：（1）直线的极坐标方程为（）； ……………………2分 曲线的普通方程为， ……………………3分 因为，，， 所以曲线的极坐标方程为.………………5分 （2）设，且， 将代入曲线的极坐标方程，有 ， ……………………6分 因为， ， ……………………7分 根据极坐标的几何意义，分别表示点的极径， 因此，………8分 因为，所以， 所以，当，即时，取最大值. ………10分 23.解:（1）当时,故不等式可化为： 或或 ……………………3分 解得：，所以解集为. ……………………5分 （2）当时，,， 于是原问题等价于存在使，即成立. …………………6分 设，,则. …………………7分 因为为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在单调递减， 当时，. …………… ... ...
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