2020届人教A版（文科数学） 空间中的平行与垂直 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 空间中的平行与垂直 单元测试 1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_____．(填序号) 答案　(1) 解析　对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 对于(3)，作如图③所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 对于(4)，作如图④所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. 2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以AB∥EF.又EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC， BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又AC?平面ABC，所以AD⊥AC. 押题预测 1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是(　　) A．m⊥n?m⊥β B．m⊥n?α⊥β C．α∥β?m∥β D．m∥n?α∥β 押题依据　空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力． 答案　C 解析　构造长方体，如图所示． 因为A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题． CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题． “若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示． (1)求证：A1E⊥FP； (2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 押题依据　以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向． (1)证明　在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示． 因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD. 所以在题图(2)中，A1E⊥EF， 又A1E?平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC， 且平面A1EF∩平面BEFC＝EF， 所以A1E⊥平面BEFC. 因为FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP. (2)解　在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行． 理由如下： 如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF， 所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE. 如图所示，取A1P的中点M，连接MK， 因为点K为棱A1F的中点， 所以MK∥FP. 因为FP∥BE，所以MK∥BE. 因为MK?平面A1BE，BE?平面A1BE， 所以MK∥平面A1BE. 故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行． A组　专题通关 1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： ①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ ... ...