§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理解决问题． 知识点一 直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 知识点二 直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系． 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？ 答案 不一定． 思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ 答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直． 梳理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α 图形语言 知识点三 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( × ) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × ) 类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解 例1 下列命题中，正确的序号是_____． ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 答案 ④⑤ 解析 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确． 反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交． (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． 跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC (2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号) 答案 (1)C (2)①③④ 解析 (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC， ∴OA⊥平面OBC. (2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件． 类型二 线面垂直的判定 例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥ ... ...
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